Question

Упростите выражение ctg^2(П/2-a) sin^2(3П/2+a)

Answer 1

$\tt ctg^2(\frac{\pi}{2}-\alpha)\sin^2(\frac{3\pi}{2}+\alpha)=tg^2\alpha\cos^2\alpha=\sin^2\alpha$

Answer 2

Для упрощения данного выражения, воспользуемся тригонометрическими тождествами. Первым шагом заменим тангенс котангенсом:

ctg^2(П/2-a) = (1/tan(П/2-a))^2

Используем тождество: tan(П/2 - a) = cot(a):

ctg^2(П/2-a) = (1/cot(a))^2 = cot^2(a)

Теперь обратим внимание на второе слагаемое:

sin^2(3П/2+a)

Используем тригонометрическое тождество: sin^2(x) = 1 - cos^2(x):

sin^2(3П/2+a) = 1 - cos^2(3П/2+a)

Теперь рассмотрим cos(3П/2+a):

cos(3П/2+a) = cos(П + a)

Так как cos(П + a) = -cos(a), получим:

cos(3П/2+a) = -cos(a)

Теперь подставим это обратно в выражение для sin^2(3П/2+a):

sin^2(3П/2+a) = 1 - (-cos(a))^2 sin^2(3П/2+a) = 1 - cos^2(a)

Таким образом, упрощенное выражение будет:

ctg^2(П/2-a) sin^2(3П/2+a) = cot^2(a) * (1 - cos^2(a))

Теперь, используем еще одно тригонометрическое тождество: cot^2(x) = 1 - tan^2(x):

cot^2(a) = 1 - tan^2(a)

Таким образом, окончательное упрощенное выражение будет:

ctg^2(П/2-a) sin^2(3П/2+a) = (1 - tan^2(a)) * (1 - cos^2(a))