Question

Знайти нулі функції та проміжки знакосталості у=(х+5)(9-х)

Answer 1

Нули функции легко находятся из заданной формы представления квадратичной функции.

Это х =-5 и х = 9.

Функция в общем виде даётся так:

у = 9х + 45 - х² - 5х = -х² + 4х + 45.

Так как ветви параболы направлены вниз, то между корнями функция положительна, а влево и вправо - отрицательна:

y ≥ 0   x ∈ [-5; 9].

y < 0   x ∈ (-∞; -5) ∪ (9; +∞).

Answer 2

Щоб знайти нулі функції та проміжки знакосталості функції $y=(x+5)(9-x)$, спершу потрібно знайти значення $x$, при яких $y$ дорівнює нулю, тобто розв'язати рівняння $(x+5)(9-x) = 0$.

$y = (x+5)(9-x)$

Для цього треба розділити рівняння на два множники і прирівняти їх до нуля:

$x + 5 = 0$ або $9 - x = 0$

1. Розв'язок першого рівняння:

$x + 5 = 0$

$x = -5$

2. Розв'язок другого рівняння:

$9 - x = 0$

$x = 9$

Отже, нулі функції $y=(x+5)(9-x)$ - це $x = -5$ та $x = 9$.

Тепер, щоб знайти проміжки знакосталості, розділимо вісь $x$ на інтервали, використовуючи нулі та критичні точки (якщо такі є), і виберемо значення $x$ з кожного інтервалу, щоб дізнатися знак функції $y$ на цьому інтервалі.

Ми вже знаємо, що нулі функції -5 та 9. Знайдемо критичну точку, де функція може змінити свій знак:

$x + 5 = 0$ або $9 - x = 0$

$x = -5$ або $x = 9$

Тепер, створимо таблицю знакосталості для різних інтервалів:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Інтервал} & (-\infty, -5) & (-5, 9) & (9, +\infty) \\ \hline \text{Знак } y & ? & ? & ? \\ \hline \end{array}$$

Тепер оберемо значення $x$ з кожного інтервалу і підставимо їх в $y=(x+5)(9-x)$, щоб дізнатися знак $y$ на кожному інтервалі.

1. Для $x = -6$ (виберемо значення менше -5):

$y = (-6+5)(9-(-6)) = (-1)(15) = -15$

Таким чином, на інтервалі $(- \infty, -5)$, $y$ від'ємний (-).

2. Для $x = 0$ (виберемо значення між -5 і 9):

$y = (0+5)(9-0) = (5)(9) = 45$

Таким чином, на інтервалі $(-5, 9)$, $y$ позитивний (+).

3. Для $x = 10$ (виберемо значення більше 9):

$y = (10+5)(9-10) = (15)(-1) = -15$

Таким чином, на інтервалі $(9, +\infty)$, $y$ від'ємний (-).

Таким чином, проміжки знакосталості функції $y=(x+5)(9-x)$ такі:

1. На інтервалі $(- \infty, -5)$ функція $y$ від'ємна (-).
2. На інтервалі $(-5, 9)$ функція $y$ позитивна (+).
3. На інтервалі $(9, +\infty)$ функція $y$ від'ємна (-).