Question

Помогите решить пример Sin(x/4)=sin^2(x/16)-cos^2(x/16)

Answer 1

$\sin\frac{x}{4}=-(\cos^2\frac{x}{16}-\sin^2\frac{x}{16})$

В левой части уравнения видим, что это формула косинуса двойного угла

$\sin\frac{x}{4}=-\cos(2\cdot\frac{x}{16})\\ \sin\frac{x}{4}=-\cos\frac{x}{8}$

Представим $\sin\frac{x}{4}=\sin(2\cdot\frac{x}{8})=2\sin\frac{x}{8}\cos\frac{x}{8}$ - синус двойного угла, получим

$2\sin\frac{x}{8}\cos\frac{x}{8}=-\cos\frac{x}{8}\\ 2\sin\frac{x}{8}\cos\frac{x}{8}+\cos\frac{x}{8}=0\\ \cos\frac{x}{8}(2\sin\frac{x}{8}+1)=0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю

$\cos\frac{x}{8}=0\\ \frac{x}{8}=\frac{\pi}{2}+\pi n,n \in \mathbb{Z}~~~|\cdot 8~~~~\Rightarrow~~~ \boxed{x=4\pi+8\pi n,n \in \mathbb{Z}}$

$2\sin \frac{x}{8}+1=0\\ \sin\frac{x}{8}=-0.5\\ \frac{x}{8}=(-1)^{k+1}\cdot\frac{\pi}{6}+\pi k,k \in \mathbb{Z}~~~\Rightarrow~~~ \boxed{x=(-1)^{k+1}\cdot\frac{4\pi}{3}+8\pi k,k \in \mathbb{Z}}$

Answer 2

Для решения данного уравнения, давайте преобразуем выражение, используя тригонометрические тождества.

Тригонометрические тождества, которые нам понадобятся:

1. sin^2(a) - cos^2(a) = sin(2a)
2. sin(2a) = 2sin(a)cos(a)

Давайте заменим sin^2(x/16) - cos^2(x/16) на sin(2*x/16) и продолжим упрощение уравнения:

Sin(x/4) = sin^2(x/16) - cos^2(x/16) Sin(x/4) = sin(2*x/16)

Теперь, используем тождество sin(2a) = 2sin(a)cos(a):

Sin(x/4) = 2*sin(x/16)*cos(x/16)

Теперь делим обе части уравнения на 2*sin(x/16):

Sin(x/4) / (2*sin(x/16)) = cos(x/16)

Мы можем упростить sin(x/4) / (2*sin(x/16)) с помощью тригонометрического тождества sin(2a) = 2sin(a)cos(a):

Sin(x/4) / (2sin(x/16)) = sin(2x/16) / (2sin(x/16)) Sin(x/4) / (2sin(x/16)) = 2*sin(x/16)cos(x/16) / (2sin(x/16))

Здесь у нас есть sin(x/16) в числителе и знаменателе, поэтому они сокращаются:

Sin(x/4) / (2*sin(x/16)) = cos(x/16)

Теперь, чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части уравнения на 2*sin(x/16):

Sin(x/4) = 2*sin(x/16)*cos(x/16)

Теперь, снова используем тригонометрическое тождество sin(2a) = 2sin(a)cos(a):

Sin(x/4) = sin(2*x/16)

Или более просто:

Sin(x/4) = sin(x/8)

Теперь, чтобы решить уравнение относительно x, нужно взять обратную функцию синуса от обеих сторон:

x/4 = x/8

Теперь умножим обе стороны на 8, чтобы избавиться от знаменателя:

8*x/4 = x

2*x = x

Теперь вычитаем x из обеих сторон:

x = 0

Таким образом, решение уравнения Sin(x/4) = sin^2(x/16) - cos^2(x/16) равно x = 0.