Question

Y=x-1/x^3 Исследуйте функцию на монотонность,чётность и т.д.(по всем критериям)

Answer 1

Решение дано на фото.

Answer 2

Для исследования функции $y = \frac{x - 1}{x^3}$ на монотонность, четность и другие критерии, давайте выполним необходимый анализ:

1. Монотонность:

Чтобы определить монотонность функции, нужно проанализировать её производную и найти интервалы, на которых она возрастает или убывает.

Для функции $y = \frac{x - 1}{x^3}$ найдем её производную:

$y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{x - 1}{x^3} \right) = \frac{d}{dx} \left( x^{-2} - x^{-3} \right) = 2x^{-3} - 3x^{-4} = \frac{2}{x^3} - \frac{3}{x^4}$

Чтобы определить знак производной на различных интервалах, найдем точки, в которых производная равна нулю:

$2x^{-3} - 3x^{-4} = 0$

$2 - 3x^{-1} = 0$

$2x = 3$

$x = \frac{3}{2}$

Теперь построим таблицу знаков производной на различных интервалах:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Интервал} & (-\infty, 0) & (0, \frac{3}{2}) & (\frac{3}{2}, \infty) \\ \hline y'(x) & - & + & + \\ \hline \end{array}$$

Исходя из таблицы, функция $y = \frac{x - 1}{x^3}$ убывает на интервале $(-\infty, 0)$ и возрастает на интервалах $(0, \frac{3}{2})$ и $(\frac{3}{2}, \infty)$.

2. Четность функции:

Чтобы определить четность функции, нужно проверить, выполняется ли условие $f(-x) = f(x)$.

Подставим $-x$ вместо $x$ в исходную функцию и сравним результат с исходной функцией:

$f(-x) = \frac{-x - 1}{(-x)^3} = \frac{-x - 1}{-x^3} = -\frac{x + 1}{x^3}$

Мы видим, что $f(-x)$ и $-f(x)$ имеют различные знаки, а значит, функция не является четной.

3. Нечетность функции:

Чтобы определить нечетность функции, нужно проверить, выполняется ли условие $f(-x) = -f(x)$.

Подставим $-x$ вместо $x$ в исходную функцию и сравним результат с противоположным значением исходной функции:

$f(-x) = \frac{-x - 1}{(-x)^3} = \frac{-x - 1}{-x^3} = -\frac{x + 1}{x^3}$

Мы видим, что $f(-x) = -f(x)$, а значит, функция является нечетной.

4. Асимптоты:

Для того чтобы определить асимптоты функции, нужно проанализировать её поведение при $x \rightarrow \pm \infty$.

а) Горизонтальная асимптота:

При $x \rightarrow \infty$, $y = \frac{x - 1}{x^3} \approx \frac{x}{x^3} = \frac{1}{x^2}$