Question

Найти общий вид первообразной для функции А)f(x)=1/✓2-x Б)f(x)=1/cos^2(п/3+2x) В)f(x)=1/✓x+2 + sin(3-x/4)

Answer 1

$Formylu:\; \; \int \frac{dx}{\sqrt{kx+b}}=\frac{1}{k}\cdot 2\sqrt{kx+b}+C\; ;\\\\\int \frac{dx}{cos^2(kx+b)}=\frac{1}{k}\cdot tg(kx+b)+C\; ;\\\\\int sin(kx+b)dx=-\frac{1}{k}\cdot cos(kx+b)+C\; .$

Answer 2

Для каждой из функций найдем их первообразные:

А) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2-x}}$

Для этой функции, чтобы найти первообразную, проведем замену переменной. Пусть $u = 2-x$, тогда $du = -dx$. Заменяя переменные, получим:

$\int f(x) \, dx = \int \frac{1}{\sqrt{2-x}} \, dx = -\int \frac{1}{\sqrt{u}} \, du = -2\sqrt{u} + C = -2\sqrt{2-x} + C$

где $C$ - произвольная постоянная.

Б) $f(x) = \frac{1}{\cos^2(\frac{\pi}{3} + 2x)}$

Для этой функции воспользуемся тригонометрическими тождествами $\cos^2(\theta) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos(2\theta)$ и $\cos(\theta + \pi) = -\cos(\theta)$.

$\int f(x) \, dx = \int \frac{1}{\cos^2(\frac{\pi}{3} + 2x)} \, dx$

Проведем замену переменной $u = \frac{\pi}{3} + 2x$, тогда $du = 2dx$.

$\int f(x) \, dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos(2u)} \, du$

Теперь проведем замену $\theta = 2u$, тогда $d\theta = 2du$.

$\int f(x) \, dx = \frac{1}{4} \int \frac{1}{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos(\theta)} \, d\theta$

Используем тригонометрическую замену $t = \tan\left(\frac{\theta}{2}\right)$, тогда $\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos(\theta) = \frac{1}{2} + \frac{1}{1+t^2} = \frac{1+t^2+2}{2(1+t^2)} = \frac{t^2+3}{1+t^2}$ и $dt = \frac{1}{2}\sec^2\left(\frac{\theta}{2}\right) d\theta$.