Question

Найдите наименьшее трёхзначное натуральное число n, при котором произведение n(n+1)(n+2)(n+3) делится на 900

Answer 1

2 ·2 · 3 · 3 · 5 · 5 = 900

900 = 4 · 9 · 25

1) Если произведение n(n+1)(n+2)(n+3)  делится на 900, значит, оно должно делиться на каждый множитель числа 900, т.е.

Произведение n(n+1)(n+2)(n+3) делится и на 4, и на 9, и на 5.

2) Среди четырех последовательных чисел n,  n+1,  n+2,  n+3 не может быть двух кратных 25, поэтому одно из них делится на 25.

3) По условию число n - трёхзначное наименьшее.  

Число 100 делится на 25 и является наименьшим трёхзначным натуральным.

При n = 100 получаем четыре последовательных числа:

100;  101;  102; 103

Но среди этих чисел нет числа, которое делится на 9, поэтому n≠100.

4) Следующее число 125, которое  делится на 25 и является трёхзначным натуральным.

Находим ближайшее к числу 125, которое делится на 9.

Это число 126.

Среди четырёх подряд идущих натуральных есть обязательно два чётных,  т.е. деление на 4 выполняется.

Итак, получаем два числа из четырех:

125;  126

Дополняем предыдущими для получения наименьшего трехзначного числа:

123;  124;  125; 126

Наименьшее трёхзначное натуральное число n = 123

Ответ:  n = 123.

Answer 2

Чтобы найти наименьшее трёхзначное натуральное число n, при котором произведение n(n+1)(n+2)(n+3) делится на 900, нужно разложить число 900 на простые множители и выяснить, какие из них могут быть присутствовать в произведении n(n+1)(n+2)(n+3).

Разложим 900 на простые множители: 900 = 2^2 * 3^2 * 5^2.

Теперь рассмотрим произведение n(n+1)(n+2)(n+3) и выясним, какие из простых множителей числа 900 могут быть в нем:

• n(n+1)(n+2)(n+3) содержит 2^2, потому что произведение четырех последовательных чисел всегда делится на 4.
• n(n+1)(n+2)(n+3) содержит 3^2, потому что произведение четырех последовательных чисел всегда содержит одно из чисел, кратных 3.
• n(n+1)(n+2)(n+3) содержит 5^2, потому что произведение четырех последовательных чисел всегда содержит одно из чисел, кратных 5.

Таким образом, чтобы произведение n(n+1)(n+2)(n+3) делилось на 900, необходимо, чтобы оно содержало простые множители 2^2, 3^2 и 5^2.

Теперь найдем наименьшее трехзначное натуральное число, которое удовлетворяет этим условиям. Для этого просто возьмем самые маленькие значения для n, чтобы включить все простые множители:

n = 5 (тогда n+1 = 6, n+2 = 7, n+3 = 8).

Проверим:

5 * 6 * 7 * 8 = 1680,

1680 = 2^4 * 3 * 5^2,

и 1680 делится на 900, потому что 900 = 2^2 * 3^2 * 5^2.

Таким образом, наименьшее трёхзначное натуральное число n, при котором произведение n(n+1)(n+2)(n+3) делится на 900, равно 5.