Question

Помогите пожалуйста! ! 1^3+2^3+3^3+....+n^3=(n(n+1)/2)^2

Answer 1

Используем метод математической индукции

Проверим при первоначальном значении n=1

1³=(1*(1+1)/2)² =(2/2)² = 1 выполняется.

Пусть равенство доказано при n=k.

Остается доказать при n=k+1.

1³+2³+...+k³+(k+1)³  = ((k+1)(k+2)/2)²

1³+2³+...+k³+(k+1)³  = (k*(k+1)/2)² + (k+1)^3 = k⁴/4 + k³/2 + k²/4 + k³+ 3k² +3k +1 = k⁴/4 +3/2*k³ +13/4*k² +3k +1= (k²/2+3/2*k+1)²= ((k+1)(k+2)/2)² = ((k+1)((k+1)+1)/2)² что и требовалось доказать.

Answer 2

Конечно, я помогу разобраться в этой формуле!

Утверждение, которое вы представили, называется формулой суммы кубов и может быть доказано с помощью математической индукции.

Формула суммы кубов: 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = (n * (n + 1) / 2)^2

Давайте докажем это с помощью математической индукции.

Шаг 1: Проверка базового случая (n = 1): Для n = 1, левая сторона равна 1^3 = 1, а правая сторона равна (1 * (1 + 1) / 2)^2 = 1^2 = 1. Оба значения равны, и базовый случай верен.

Шаг 2: Предположение индукции: Предположим, что утверждение верно для некоторого положительного целого числа k, то есть 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + k^3 = (k * (k + 1) / 2)^2

Шаг 3: Доказательство для (k + 1): Теперь докажем, что утверждение верно и для (k + 1). Добавим к обеим сторонам формулы (k + 1)^3: 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + k^3 + (k + 1)^3 = (k * (k + 1) / 2)^2 + (k + 1)^3

Теперь давайте упростим правую сторону: (k * (k + 1) / 2)^2 + (k + 1)^3 = (k^2 * (k + 1)^2 / 4) + (k + 1)^3 = (k^2 * (k + 1)^2 + 4(k + 1)^3) / 4 = (k^2 * (k + 1)^2 + 4(k + 1)^2 * (k + 1)) / 4 = ((k + 1)^2 * (k^2 + 4(k + 1))) / 4 = ((k + 1)^2 * (k^2 + 4k + 4)) / 4 = ((k + 1)^2 * (k + 2)^2) / 4 = ((k + 1) * (k + 2) / 2)^2 = ((k + 1) * ((k + 1) + 1) / 2)^2 = ((k + 1) * (k + 2) / 2)^2

Мы получили ту же самую формулу для (k + 1), как и утверждение, которое мы хотели доказать. Таким образом, утверждение верно и для (k + 1).

Шаг 4: Заключение: Из базового случая и предположения индукции следует, что утверждение верно для всех натуральных чисел n.

Таким образом, формула суммы кубов 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = (n * (n + 1) / 2)^2 верна для всех натуральных чисел n.