Question

Найдите уравнение горизонтальной касательной к графику функции f(x)=(5^x-65)(5^x+15)

Answer 1

///////////////////////////////////////////

Answer 2

Для того чтобы найти уравнение горизонтальной касательной к графику функции $f(x) = (5^x - 65)(5^x + 15)$, мы должны найти точку, в которой касательная горизонтальна.

1. Начнем с нахождения производной $f'(x)$ функции $f(x)$:

f(x) &= (5^x - 65)(5^x + 15) \\ f'(x) &= \frac{d}{dx}((5^x - 65)(5^x + 15)) \\ \end{align*}\] Для этого применим правило производной произведения: \[\begin{align*} f'(x) &= (5^x + 15) \frac{d}{dx}(5^x - 65) + (5^x - 65) \frac{d}{dx}(5^x + 15) \\ \end{align*}\] Производная \(5^x\) по \(x\) равна \((\ln(5)) \cdot 5^x\), где \(\ln\) - натуральный логарифм. \[\begin{align*} f'(x) &= (5^x + 15)(\ln(5) \cdot 5^x) + (5^x - 65)(\ln(5) \cdot 5^x) \\ &= (\ln(5) \cdot 5^x)(5^x + 15 + 5^x - 65) \\ &= (\ln(5) \cdot 5^x)(2 \cdot 5^x - 50) \\ &= 2 \cdot \ln(5) \cdot 5^{2x} - 50 \cdot \ln(5) \cdot 5^x \end{align*}\] 2. Теперь найдем точки, в которых \(f'(x) = 0\), чтобы найти места, где у кривой может быть горизонтальная касательная. Горизонтальная касательная будет иметь нулевой наклон, что соответствует \(f'(x) = 0\). \[f'(x) = 2 \cdot \ln(5) \cdot 5^{2x} - 50 \cdot \ln(5) \cdot 5^x = 0\] 3. Решим уравнение \(2 \cdot \ln(5) \cdot 5^{2x} - 50 \cdot \ln(5) \cdot 5^x = 0\) относительно \(5^x\): \[2 \cdot \ln(5) \cdot 5^x (5^x - 25) = 0\] Теперь у нас есть два уравнения: a) \(2 \cdot \ln(5) = 0\) - этого быть не может, так как \(\ln(5)\) является положительным числом. b) \(5^x - 25 = 0\) \[5^x = 25\] 4. Решим второе уравнение: \[x = \log_5(25)\] \[x = 2\] Таким образом, у нас есть точка с абсциссой \(x = 2\), в которой касательная к кривой горизонтальна. 5. Найдем значение функции в этой точке: \[f(2) = (5^2 - 65)(5^2 + 15) = (25 - 65)(25 + 15) = (-40)(40) = -1600\] 6. Теперь мы можем записать уравнение горизонтальной касательной. Касательная будет иметь вид \(y = c\), где \(c\) - это значение функции в точке касания: \[y = -1600\] Таким образом, уравнение горизонтальной касательной к графику функции \(f(x) = (5^x - 65)(5^x + 15)\) в точке \(x = 2\) имеет вид: \[y = -1600\]