Question

Найти точки экстремалы f(x) =x*lnx

Answer 1

____________________

Answer 2

Чтобы найти точки экстремума функции $f(x) = x \ln(x)$, необходимо найти значения $x$, при которых производная функции равна нулю. Точки, в которых производная равна нулю или не существует, могут быть локальными минимумами или максимумами.

Для нахождения производной функции $f'(x)$ применим правило производной произведения:

$f(x) = x \ln(x)$

$f'(x) = \frac{d}{dx}(x \ln(x))$

Используем правило производной произведения (производной произведения функций $u(x)$ и $v(x)$ равна $u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$):

$f'(x) = \ln(x) + x \cdot \frac{d}{dx}(\ln(x))$

Теперь найдем производную $\frac{d}{dx}(\ln(x))$:

$\frac{d}{dx}(\ln(x)) = \frac{1}{x}$

Подставим этот результат обратно в производную $f'(x)$:

$f'(x) = \ln(x) + x \cdot \frac{1}{x}$

$f'(x) = \ln(x) + 1$

Теперь найдем точки, в которых производная равна нулю:

$\ln(x) + 1 = 0$

$\ln(x) = -1$

Используем определение логарифма:

$x = e^{-1}$

$x = \frac{1}{e}$

Таким образом, у нас есть одна точка экстремума $x = \frac{1}{e}$. Чтобы определить, является ли она минимумом или максимумом, можно проанализировать знак производной в окрестности этой точки.

Если $x < \frac{1}{e}$, то $\ln(x) < -1$, и $\ln(x) + 1 < 0$. Значит, производная отрицательна в этом интервале.

Если $x > \frac{1}{e}$, то $\ln(x) > -1$, и $\ln(x) + 1 > 0$. Значит, производная положительна в этом интервале.

Таким образом, у точки $x = \frac{1}{e}$ происходит изменение знака производной с отрицательного на положительное, что говорит о том, что у этой точки есть локальный минимум.