Question

Доказать, что =0

Answer 1

Для начала рассмотрим предел: $\displaystyle \sf \lim_{n \to \infty} \frac{n^k}{a^n}$, когда a>1

Пусть есть $\sf m\in \mathbb{Z}$ и $\sf m\geqslant k$. Тогда

$\sf \displaystyle 0$

Где b замена на $\sf \sqrt[\sf m]{\sf a}>1$. Но, представив b = 1 + b-1 и разложив по формуле Бинома:

$\sf 0$

Значит, по теореме о предельном переходе в произведении, получим что предел $\sf \displaystyle \lim_{n \to \infty}\left(\frac{n}{b^n}\right)^m=0$. Тогда

$\sf \dfrac{1}{b^n}$ при большом n. Введём замену $\tt b=a^{\varepsilon}$, где a>1 и $\varepsilon$ - положительное и произвольное. Тогда

$\sf \dfrac{1}{a^{\varepsilon n}}$

Прологарифмировав, получим:

$\sf \displaystyle 0$ при большом n. Следовательно,

$\sf \displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{\log_an}{n}=0,~~ a>1$

**********************************************************************************

Теперь осталось доказать, что $\sf \displaystyle \lim_{x \to \infty}\frac{\log_ax}{x^{\varepsilon}}=0$, когда a>1 и $\varepsilon >0$

Пусть $\sf \displaystyle x^{\varepsilon}=t$, тогда $\sf \displaystyle \lim_{t \to \infty}\frac{\log_at}{\varepsilon t}$

Ранее мы показали, что $\displaystyle \sf \lim_{n \to \infty}\frac{\log_an}{n}=0$, значит $\sf \displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{\log_a(n+1)}{n}=0$

Пусть $\sf \varepsilon'$ - положительное и произвольное. Тогда

$\displaystyle \sf\exists N\in\mathbb{N},~n>N~|~~0$

И возьмем $\sf n=[t]$ для $\sf t>N+1$. Тогда

$\sf \displaystyle 0$

а значит и $\displaystyle \sf \lim_{x \to \infty}\frac{\log_ax}{x^{\varepsilon}}=0$

Answer 2

I'm sorry, but it seems like your equation is incomplete or not visible. The equation you provided is "=0," and without knowing the complete equation or the context, it's not possible to prove anything about it.

If you have a specific mathematical equation that you would like to discuss or need assistance with, please provide the complete equation, and I'd be happy to help you analyze it or provide a proof if applicable.