Question

Определить sin угла между векторами а(-1 :-2)в(3:6)

Answer 1

Можно заметить, что эти векторы коллинеарны, так как их координаты - пропорциональные числа:

$\dfrac{3}{-1}=\dfrac{6}{-2}$

Значит, синус угла между такими векторами равен 0.

Можно рассуждать через скалярное произведение и косинус.

С одной стороны, скалярное произведение есть сумма попарных произведений координат:

$(\vec{a}\cdot \vec{b})=-1\cdot3+(-2)\cdot6=-15$

С другой стороны, скалярное произведение - это произведение длин векторов на косинус угла между ними:

$(\vec{a}\cdot \vec{b})=\sqrt{(-1)^2+(-2)^2}\cdot \sqrt{3^2+6^2}\cdot\cos\alpha= \sqrt{5}\cdot3 \sqrt{5}\cdot\cos\alpha= 15\cos\alpha$

Приравнивая два выражения, получим:

$15\cos\alpha=-15\\\cos\alpha=-1$

Далее, по основному тригонометрическому тождеству:

$\sin^2\alpha =\sqrt{1-\cos\alpha} =\sqrt{1-(-1)^2} =0\\\Rightarrow \sin\alpha=0$

Ответ: 0

Answer 2

Для определения синуса угла между двумя векторами, нам необходимо знать их скалярное произведение и длины. Синус угла между векторами вычисляется по следующей формуле:

$\sin(\theta) = \frac{{|\mathbf{a} \times \mathbf{b}|}}{{|\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{b}|}}$

Где $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ - векторное произведение векторов $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$, $|\mathbf{a}|$ - длина вектора $\mathbf{a}$, $|\mathbf{b}|$ - длина вектора $\mathbf{b}$.

Давайте сначала найдем значения для каждой величины:

1. Скалярное произведение: $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (-1) \cdot 3 + (-2) \cdot 6 = -3 - 12 = -15$

2. Длина вектора $\mathbf{a}$: $|\mathbf{a}| = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$

3. Длина вектора $\mathbf{b}$: $|\mathbf{b}| = \sqrt{3^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$

Теперь, используя формулу синуса угла между векторами, получим:

$\sin(\theta) = \frac{{|\mathbf{a} \times \mathbf{b}|}}{{|\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{b}|}} = \frac{{|-15|}}{{\sqrt{5} \cdot 3\sqrt{5}}} = \frac{{15}}{{3\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}}} = \frac{{15}}{{3 \cdot 5}} = \frac{1}{3}$

Таким образом, синус угла между векторами $\mathbf{a}(-1, -2)$ и $\mathbf{b}(3, 6)$ равен $\frac{1}{3}$.