Question

Знайдіть множину розв'язків нерівності 1)f(x)>_0: 2)f(x)<0 f(x)=x^2+2x-3

Answer 1

Розв'язання завдання додаю

Answer 2

Щоб знайти множину розв'язків нерівностей $f(x) \geq 0$ та $f(x) < 0$, спершу знайдемо корені функції $f(x)$ (тобто значення $x$, при яких $f(x) = 0$).

Дано функцію $f(x) = x^2 + 2x - 3$. Щоб знайти корені, розв'яжемо рівняння $f(x) = 0$:

$x^2 + 2x - 3 = 0$.

Факторизуємо:

$(x + 3)(x - 1) = 0$.

Тепер встановлюємо, при яких значеннях $x$ рівняння $f(x) = 0$:

1. $x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$.

2. $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$.

Таким чином, маємо два корені: $x = -3$ та $x = 1$.

Тепер можемо зобразити графік функції $f(x) = x^2 + 2x - 3$ та визначити, коли вона більше або дорівнює нулю (тобто розв'язок $f(x) \geq 0$) і коли менше нуля (тобто розв'язок $f(x) < 0$).

Перш за все, знайдемо вершину параболи, яка є мінімумом (тому що коефіцієнт $x^2$ додатній):

$x_{\text{верш}} = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2} = -1.$

Тепер підставимо $x = -1$ у функцію, щоб знайти $y_{\text{верш}}$:

$y_{\text{верш}} = (-1)^2 + 2(-1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4.$

Отже, вершина параболи має координати $(-1, -4)$.

Тепер побудуємо графік функції $f(x) = x^2 + 2x - 3$:

Тепер давайте знайдемо множину розв'язків для кожної нерівності:

1. $f(x) \geq 0$ (тобто функція більше або дорівнює нулю):

З графіка видно, що функція $f(x)$ більше або дорівнює нулю на проміжках $(- \infty, -3]$ та $[1, +\infty)$. Таким чином, множина розв'язків для $f(x) \geq 0$ є $(- \infty, -3] \cup [1, +\infty)$.

2. $f(x) < 0$ (тобто функція менше нуля):

З графіка видно, що функція $f(x)$ менше нуля на проміжку $(-3, 1)$. Таким чином, множина розв'язків для $f(x) < 0$ є $(-3, 1)$.

Отже, множини розв'язків нерівностей $f(x) \geq 0$ та $f(x) < 0$ є:

1. $f(x) \geq 0$: $(- \infty, -3] \cup [1, +\infty)$.

2. $f(x) < 0$: $(-3, 1)$.