Question

(x+1)y'+y=cosx решите пожалуйста диффиринциальное уравнение прошуу

Answer 1

Вот пользуйтесь на здоровье :)

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения с разделяющимися переменными, мы должны выразить переменные x и y, а затем проинтегрировать обе стороны уравнения. Вот как это делается:

Исходное уравнение: (x + 1)y' + y = cos(x)

Шаг 1: Выразим y': (x + 1)y' = cos(x) - y

Шаг 2: Разделим обе стороны на (x + 1): y' = (cos(x) - y) / (x + 1)

Шаг 3: Выразим дифференциальное уравнение в виде dy/dx = f(x, y): dy/dx = (cos(x) - y) / (x + 1)

Теперь, чтобы решить это уравнение, можно использовать метод разделения переменных и проинтегрировать обе стороны по отдельности.

Шаг 4: Интегрируем уравнение: ∫(1 / (cos(x) - y)) dy = ∫(1 / (x + 1)) dx

Шаг 5: Решим интегралы: Левая часть: ∫(1 / (cos(x) - y)) dy = ln|cos(x) - y|

Правая часть: ∫(1 / (x + 1)) dx = ln|x + 1|

Теперь у нас получилось: ln|cos(x) - y| = ln|x + 1| + C

где C - постоянная интегрирования.

Шаг 6: Избавимся от логарифмов: Используем свойство логарифма: ln(a) = ln(b) тогда и только тогда, когда a = b.

Таким образом, получим: |cos(x) - y| = |x + 1| * e^C

где e^C - положительная постоянная, так как экспонента всегда положительна.

Шаг 7: Рассмотрим два случая, когда выражение в модулях может быть положительным или отрицательным.

Случай 1: (cos(x) - y) = (x + 1) * e^C При этом условии выражение в модулях убирается.

cos(x) - y = (x + 1) * e^C

Шаг 8: Выразим y: y = cos(x) - (x + 1) * e^C

Случай 2: (cos(x) - y) = -(x + 1) * e^C При этом условии выражение в модулях также убирается, и получаем:

cos(x) - y = -(x + 1) * e^C

Шаг 9: Выразим y: y = cos(x) + (x + 1) * e^C

Общее решение дифференциального уравнения состоит из комбинации этих двух случаев:

y = cos(x) - (x + 1) * e^C или y = cos(x) + (x + 1) * e^C

где C - произвольная постоянная.