Question

Доведіть,що за кого натурального числа n значення виразу (n-1)(n+1)-(n-7)(n-5) кратне 12

Answer 1

За значення n "3" вираз буде мати відповідь "0" (а це натуральне число).

Answer 2

Для доведення того, що вираз (n-1)(n+1) - (n-7)(n-5) є кратним 12 для будь-якого натурального числа n, ми спростимо вираз та використаємо метод математичної індукції.

1. Спростимо вираз: (n-1)(n+1) - (n-7)(n-5) = n^2 + n - n - 1 - (n^2 - 5n - 7n + 35) = n^2 + n - n - 1 - (n^2 - 12n + 35) = n^2 + n - n - 1 - n^2 + 12n - 35 = 12n - 36 = 12(n - 3)

2. Тепер ми маємо вираз у вигляді 12(n - 3), де n - 3 - теж натуральне число.

3. Математична індукція:

• Базовий крок: При n = 1, маємо (1 - 3) = -2, що є кратним 12 (бо -2 = 12*(-1)).

• Припустимо, що висловлювання справедливе для деякого натурального числа k, тобто (k - 1)(k + 1) - (k - 7)(k - 5) кратне 12.

• Індукційний крок: Доведемо, що висловлювання буде справедливе для k + 1: (k+1 - 1)(k+1 + 1) - (k+1 - 7)(k+1 - 5) = (k^2 + 2k) - (k^2 - k - 7k + 35) = (k^2 + 2k) - (k^2 - 8k + 35) = 10k - 35 = 10(k - 3) - 5.

Таким чином, ми бачимо, що при n = k + 1, вираз (n - 1)(n + 1) - (n - 7)(n - 5) ділиться на 12 (кратне 12), тому що можна представити його у вигляді 12*(к-3)-5, і останнє число -5 також ділиться на 5. Отже, ми використали математичну індукцію для підтвердження, що висловлювання справедливе для всіх натуральних чисел n.