Question

X^2+y^2=19 x•y=3 Найти х и у

Answer 1

(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 = 19 + 2*3  = 25

1)

{ x + y = -5

{ xy = 3

По теореме Виета x и y - корни уравнения t^2 + 5t + 3 = 0

D = 5^2 - 4*3 =25 - 12 = 13

x1 = (-5 - √13)/2; y1 = -5 - x1 = (-5 + √13)/2

x2 = (-5 + √13)/2; y2 = (-5 - √13)/2

2) x + y = 5

{ x + y = -5

{ xy = 3

По теореме Виета x и y - корни уравнения t^2 - 5t + 3 = 0

D = 5^2 - 4*3 =25 - 12 = 13

x3 = (5 - √13)/2; y3 = 5 - x1 = (5 + √13)/2

x4 = (5 + √13)/2; y4 = (5 - √13)/2

Ответ: ((-5 - √13)/2; (-5 + √13)/2); ((-5 + √13)/2; (-5 - √13)/2); ((5 - √13)/2; (5 + √13)/2); ((5 + √13)/2; (5 - √13)/2)

Answer 2

Для решения системы уравнений, можно использовать метод подстановки или метод исключения. В данном случае, проще всего воспользоваться методом подстановки.

Данная система уравнений:

1. $x^2 + y^2 = 19$
2. $x \cdot y = 3$

Давайте решим второе уравнение относительно одной из переменных, например, $y$:

$y = \frac{3}{x}$

Теперь, подставим это значение $y$ в первое уравнение:

$x^2 + \left(\frac{3}{x}\right)^2 = 19$

Раскроем скобку во втором слагаемом:

$x^2 + \frac{9}{x^2} = 19$

Теперь приведем уравнение к общему знаменателю, чтобы избавиться от дроби:

$x^2 \cdot x^2 + 9 = 19 \cdot x^2$

$x^4 + 9 = 19x^2$

Теперь получившееся уравнение является квадратным относительно $x^2$. Приведем его к стандартному виду:

$x^4 - 19x^2 + 9 = 0$

Теперь давайте проведем замену $t = x^2$, чтобы получить квадратное уравнение относительно $t$:

$t^2 - 19t + 9 = 0$

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

Дискриминант ($D$) квадратного уравнения $at^2 + bt + c = 0$ вычисляется как $D = b^2 - 4ac$.

В нашем случае:

$a = 1$ $b = -19$ $c = 9$

$D = (-19)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 361 - 36 = 325$

Теперь найдем два возможных значения для $t$:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{19 + \sqrt{325}}{2}$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{19 - \sqrt{325}}{2}$

Итак, у нас есть два возможных значения для $t$, а это значит, что у нас могут быть два возможных значения для $x$ (поскольку $t = x^2$). Таким образом, решение будет иметь вид:

1. $x_1 = \sqrt{t_1} = \sqrt{\frac{19 + \sqrt{325}}{2}}$
2. $x_2 = \sqrt{t_2} = \sqrt{\frac{19 - \sqrt{325}}{2}}$

Теперь, найдем соответствующие значения $y$ для каждого значения $x$ с помощью второго уравнения:

Для $x_1$:

$y_1 = \frac{3}{x_1} = \frac{3}{\sqrt{\frac{19 + \sqrt{325}}{2}}}$