Question

Найти функцию обратную к функции y=3(x-5)^-1указать её область определения и множество значений(^ - знак степени)

Answer 1

$y=3(x-5)^{-1}=3 \cdot \frac{1}{x-5} = \frac{3}{x-5}$

1. Обратная функция:

$y= \frac{3}{x-5} \\ x=\frac{3}{y-5} \\ xy-5x=3 \\ y= \frac{3+5x}{x}$

2. $D(}\frac{3+5x}{x}) = (-\infty;0)\cup(0;+\infty) \\ E(}\frac{3+5x}{x}) = (-\infty;5)\cup(5;+\infty)$

Answer 2

Для нахождения функции, обратной к функции y = 3(x - 5)^-1, следует выполнить шаги:

Шаг 1: Заменить y на x и x на y. x = 3(y - 5)^-1

Шаг 2: Решить уравнение относительно y. 1 / x = y - 5

Шаг 3: Избавиться от дроби, инвертировав обе стороны уравнения. x = 1 / (y - 5)

Шаг 4: Найти обратную функцию y(x). Для этого нужно переставить местами x и y в уравнении: y = 1 / (x - 5)

Таким образом, обратная функция к y = 3(x - 5)^-1 это y = 1 / (x - 5).

Область определения функции y = 3(x - 5)^-1: Так как (x - 5)^-1 имеет значение, только если x - 5 не равен нулю (так как не существует деления на ноль), то область определения функции y = 3(x - 5)^-1 - это множество всех действительных чисел, кроме x = 5.

Область определения обратной функции y = 1 / (x - 5): Аналогично, обратная функция не имеет значения при x = 5, поэтому область определения обратной функции также является множеством всех действительных чисел, кроме x = 5.

Множество значений функции y = 3(x - 5)^-1: Для нахождения множества значений функции y = 3(x - 5)^-1, следует рассмотреть, как меняется значение функции при изменении x.

1. При x -> ∞ (x стремится к положительной бесконечности), значение (x - 5)^-1 стремится к 0, и функция стремится к 3 * 0 = 0.
2. При x -> 5 (x стремится к 5), значение (x - 5)^-1 стремится к бесконечности (положительной или отрицательной в зависимости от того, с какой стороны подходит x к 5), и функция стремится к бесконечности (положительной или отрицательной в зависимости от знака 3).

Таким образом, множество значений функции y = 3(x - 5)^-1 это множество всех действительных чисел, кроме 0.

Множество значений обратной функции y = 1 / (x - 5): Аналогично, при x -> ∞ или x -> -∞ (x стремится к положительной или отрицательной бесконечности), значение функции стремится к 0. При x -> 5 (x стремится к 5), значение функции стремится к бесконечности (положительной или отрицательной, в зависимости от знака x - 5).

Таким образом, множество значений обратной функции y = 1 / (x - 5) - это множество всех действительных чисел, кроме 0.