Question

Продифференцировать y=(1+sin^2x) ^4 прошу пожалуйста помогите распишите подробно пожалуйста

Answer 1

$\displaystyle y=(1+sin^2x)^4;\\y'=4(1+sin^2x)^3*(1+sin^2x)'=4(1+sin^2x)^3*2sinxcosx=\\4sin(2x)(1+sin^2x)^3;$

Answer 2

Конечно! Для продифференцирования функции y = (1 + sin^2(x))^4 по переменной x, мы будем использовать правило дифференцирования составной функции (chain rule) и правило дифференцирования степенной функции.

Давайте разберемся по шагам:

Шаг 1: Используем правило дифференцирования степенной функции Правило гласит, что если у нас есть функция u(x) = f(x)^n, где f(x) - некоторая функция, а n - константа, то производная этой функции равна произведению n и производной функции f(x).

В нашем случае, функция f(x) = 1 + sin^2(x) (возводимая в степень), и n = 4. Обозначим u(x) = f(x)^n = (1 + sin^2(x))^4.

Шаг 2: Найдем производную функции f(x) = 1 + sin^2(x) Для этого нужно использовать правило дифференцирования суммы. Производная sin^2(x) равна 2 * sin(x) * cos(x) по правилу дифференцирования произведения.

Таким образом, f'(x) = 0 + 2 * sin(x) * cos(x) = 2 * sin(x) * cos(x).

Шаг 3: Найдем производную функции u(x) = (1 + sin^2(x))^4, используя chain rule. Для этого умножим производную внутренней функции (1 + sin^2(x)) по производной внешней функции (1 + sin^2(x))^4.

Производная внешней функции равна: u'(x) = 4 * (1 + sin^2(x))^(4-1) * (производная внутренней функции).

Производная внутренней функции (1 + sin^2(x)) равна: (1 + sin^2(x))' = 2 * sin(x) * cos(x).

Теперь, подставим оба значения в формулу для u'(x):

u'(x) = 4 * (1 + sin^2(x))^3 * (2 * sin(x) * cos(x)).

Полученное выражение является производной функции y=(1+sin^2x)^4 по переменной x.