Question

Найти производную у=Arcsin x/arccos x

Answer 1

Для того, чтобы найти производную функции y = arccos x + arcsin (2 * x) используем формулы производной:

1) (arccos x) ' = - 1/√(1 - x ^ 2);

2) (arcsin u) ' = 1/√(1 - u ^ 2) * u ';

3) x ' = 1;

4) (x - y) ' = x ' - y ';

Тогда получаем:

y ' = (arccos x + arcsin (2 * x)) ' = (arccos x) ' + (arcsin (2 * x)) ' = - 1/√(1 - x ^ 2) + 1/√(1 - (2 * x) ^ 2) * (2 * x) ' = - 1/√(1 - x ^ 2) + 1/√(1 - 4 * x ^ 2) * 2 * 1 = 2/√(1 - 4 * x ^ 2) - 1/√(1 - x ^ 2).

Answer 2

Для нахождения производной функции у = Arcsin(x) / Arccos(x), воспользуемся правилом дифференцирования частного функций.

Правило дифференцирования частного: Если у = u(x) / v(x), то у' = (u'(x) * v(x) - u(x) * v'(x)) / (v(x))^2.

Для нашего случая: u(x) = Arcsin(x) v(x) = Arccos(x)

Теперь найдем производные u'(x) и v'(x).

Производная Arcsin(x): (u(x))' = (Arcsin(x))' = 1 / sqrt(1 - x^2).

Производная Arccos(x): (v(x))' = (Arccos(x))' = -1 / sqrt(1 - x^2).

Теперь подставим значения в формулу для производной частного:

у' = (u'(x) * v(x) - u(x) * v'(x)) / (v(x))^2 = (1 / sqrt(1 - x^2) * Arccos(x) - Arcsin(x) * (-1 / sqrt(1 - x^2))) / (Arccos(x))^2 = (Arccos(x) / sqrt(1 - x^2) + Arcsin(x) / sqrt(1 - x^2)) / (Arccos(x))^2.

Таким образом, производная функции у = Arcsin(x) / Arccos(x) равна (Arccos(x) / sqrt(1 - x^2) + Arcsin(x) / sqrt(1 - x^2)) / (Arccos(x))^2.