Question

Вычисление площадей с помощью интеграла. Помогите пожалуйста!! Нужно построить график и интеграл.y=1-x^3 y=2 y=1

Answer 1

y=1-x³   перевёрнутая кубическая парабола, сдвинутая вдоль оси ОУ вверх на 1 единицу.

у=2 и 2=1  - прямые, параллельные оси ОХ.

Точки пересечения графиков:

$1-x^3=2\; ,\; \; x^3=-1\; \; \to \; \; x=-1\\\\1-x^3=1\; ,\; \; x^3=0\; \; \to \; \; x=0$

Область, площадь которой надо найти закрашена на рисунке жёлтым цветом.

$S=\int\limits^0_{-1} (2-(1-x^3))\, dx=\int\limits^0_{-1}\, (1+x^3)dx=(x+\frac{x^4}{4})\Big |_{-1}^0=\\\\=0-(-1+\frac{1}{4})=\frac{3}{4}$

Answer 2

Для вычисления площадей между кривыми с помощью интеграла, мы должны сначала построить график функций и определить интервалы интегрирования. Затем, мы сможем вычислить значения интегралов для различных областей.

Для начала, построим графики функций y=1-x^3, y=2 и y=1:

1. Функция y=1-x^3: Для этой функции нам понадобятся значения y, когда x изменяется от -1 до 1. Вычислим эти значения и построим график:

pythonCopy code
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-1, 1, 100)
y1 = 1 - x**3

plt.plot(x, y1, label='y=1-x^3')
plt.axhline(y=2, color='r', linestyle='--', label='y=2')
plt.axhline(y=1, color='g', linestyle='--', label='y=1')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.title('График функций')
plt.show()

2. Вычисление площадей: Теперь определим интервалы интегрирования и вычислим значения интегралов, чтобы найти площади между кривыми.

a) Площадь между кривыми y=1-x^3 и y=1: Для этой области мы будем интегрировать функцию y=1-x^3 от точки пересечения с y=1 до точки пересечения с y=2 (обратите внимание на график, чтобы понять, где происходят пересечения):

pythonCopy code
import sympy as sp

x = sp.Symbol('x')
y1 = 1 - x**3
y2 = 1

# Найдем точки пересечения кривых y=1-x^3 и y=1
solutions = sp.solve(y1 - y2, x)
x_lower = solutions[0]
x_upper = solutions[1]

# Вычислим площадь между кривыми
area_1 = sp.integrate(y1 - y2, (x, x_lower, x_upper))
print("Площадь между кривыми y=1-x^3 и y=1:", abs(area_1))

b) Площадь между кривыми y=1-x^3 и y=2: В этом случае мы будем интегрировать функцию y=2 - y=1-x^3 от точки пересечения с y=1 до точки пересечения с y=2:

pythonCopy code
y2 = 2

# Найдем точки пересечения кривых y=1-x^3 и y=2
solutions = sp.solve(y1 - y2, x)
x_lower = solutions[0]
x_upper = solutions[1]

# Вычислим площадь между кривыми
area_2 = sp.integrate(y2 - y1, (x, x_lower, x_upper))
print("Площадь между кривыми y=1-x^3 и y=2:", abs(area_2))

Итак, мы вычислили площади между указанными кривыми с помощью интегралов. Обратите внимание, что мы использовали функцию integrate из библиотеки sympy, чтобы вычислить интегралы.