Question

Cos(pi/2+x)=cos2x Решите уравнение, пожалуйста)

Answer 1

Cos(pi/2+x) = -sinx
cos2x= cos^2x - sin^2x
-sinx = cos^2x - sin^2x
cos^2x =1 - sin^2x
-sinx = 1-sin^2x - sin^2x
2sin^2x - sinx - 1 =0
sinx = t
2t^2-t-1=0
D = 1 + 8 = 9
t1 = 1+3/4 = 4/4 = 1
t2 = -2/4 = -0.5
sinx = 1
x = pi/2+2pin
sinx = -0.5
x = -pi/6+2pin
x = -5pi/6+2pin

Answer 2

Для решения данного уравнения, используем тригонометрические тождества. В данном случае, мы будем применять следующее тождество:

cos(π/2 + x) = sin(x)

Также нам известно тригонометрическое тождество:

cos(2x) = 2cos^2(x) - 1

Теперь приравниваем:

sin(x) = 2cos^2(x) - 1

Теперь перепишем sin(x) в терминах cos(x) с помощью тождества sin^2(x) + cos^2(x) = 1:

√(1 - cos^2(x)) = 2cos^2(x) - 1

Теперь возводим обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

1 - cos^2(x) = (2cos^2(x) - 1)^2

Раскрываем скобки:

1 - cos^2(x) = 4cos^4(x) - 4cos^2(x) + 1

Теперь приводим подобные слагаемые на одну сторону уравнения:

4cos^4(x) - 5cos^2(x) = 0

Теперь выносим общий множитель за скобку:

cos^2(x)(4cos^2(x) - 5) = 0

Теперь используем свойство, что произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

cos^2(x) = 0 или 4cos^2(x) - 5 = 0

Первое уравнение (cos^2(x) = 0) не имеет решений на интервале [0, 2π], так как косинус не может быть равен нулю на этом интервале.

Теперь решим второе уравнение:

4cos^2(x) - 5 = 0

4cos^2(x) = 5

cos^2(x) = 5/4

cos(x) = ±√(5/4)

cos(x) = ±√5/2

Так как косинус является четной функцией, решения будут симметричны относительно оси ординат. Таким образом, имеем два решения:

1. cos(x) = √5/2

2. cos(x) = -√5/2

Теперь найдем значения угла x, удовлетворяющие каждому из этих уравнений.

1. cos(x) = √5/2

Из тригонометрических таблиц или калькулятора, мы знаем, что угол, у которого косинус равен √5/2, это x = π/3 (60 градусов).

2. cos(x) = -√5/2

Также, из тригонометрических таблиц или калькулятора, угол, у которого косинус равен -√5/2, это x = 2π/3 (120 градусов).

Итак, решения уравнения: x = π/3 и x = 2π/3.