Question

Lim(1-5/4x)^xПомогите пожалуйстаlim(1+2/3x)^xX стремится к бесконечности

Answer 1

$1)\; \; \lim\limits _{n \to \infty}(1-\frac{5}{4x})^{x}=\lim\limits _{x \to \infty}\Big (\Big (1+\frac{-5}{4x}\Big )^{\frac{4x}{-5}}\Big )^{\frac{-5}{4x}\cdot x}=e^{\lim\limits _{x \to \infty}\frac{-5x}{4x}}=e^{-\frac{5}{4}}\\\\\\2)\; \; \lim\limits_{x \to \infty}(1+\frac{2}{3x})^{x}=\lim\limits _{x \to \infty}\Big (\Big (1+\frac{2}{3x}\Big )^{\frac{3x}{2}}\Big )^{\frac{2}{3x}\cdot x}=e^{\lim\limits _{x\to \infty} \frac{2x}{3x}}}=e^{\frac{2}{3}}$

Answer 2

Для вычисления предела функции, когда $x$ стремится к бесконечности, можно использовать правило Лопиталя. Это правило применяется, когда предел имеет форму $\frac{0}{0}$ или $\frac{\infty}{\infty}$.

Давайте рассмотрим первый предел:

$\lim_{{x \to \infty}} \left(1 - \frac{5}{4x}\right)^x$

Применим правило Лопиталя, взяв производную числителя и знаменателя по переменной $x$:

$\lim_{{x \to \infty}} \frac{d}{dx} \left(1 - \frac{5}{4x}\right)^x = \lim_{{x \to \infty}} \left(\frac{-5}{4x^2}\right) \left(1 - \frac{5}{4x}\right)^x$

Теперь, когда $x$ стремится к бесконечности, можно увидеть, что $\frac{5}{4x}$ стремится к $0$, а $\left(1 - \frac{5}{4x}\right)^x$ стремится к $1$. Поэтому предел первоначальной функции равен:

$\lim_{{x \to \infty}} \left(1 - \frac{5}{4x}\right)^x = \boxed{1}$

Теперь рассмотрим второй предел:

$\lim_{{x \to \infty}} \left(1 + \frac{2}{3x}\right)^x$

Повторим тот же процесс и применим правило Лопиталя:

$\lim_{{x \to \infty}} \frac{d}{dx} \left(1 + \frac{2}{3x}\right)^x = \lim_{{x \to \infty}} \left(\frac{2}{3x^2}\right) \left(1 + \frac{2}{3x}\right)^x$

Теперь, когда $x$ стремится к бесконечности, $\frac{2}{3x}$ стремится к $0$, а $\left(1 + \frac{2}{3x}\right)^x$ стремится к $e^{2/3}$. Поэтому предел второй функции равен:

$\lim_{{x \to \infty}} \left(1 + \frac{2}{3x}\right)^x = \boxed{e^{2/3}}$

Итак, ответы: $\lim_{{x \to \infty}} \left(1 - \frac{5}{4x}\right)^x = 1$ и $\lim_{{x \to \infty}} \left(1 + \frac{2}{3x}\right)^x = e^{2/3}$.