Question

Докажите тождество: 1-tg^2А=cos2A/cos^2A Можете расписать на листочке пожалуйста

Answer 1

$1-tg^2\alpha=1-\frac{sin^2\alpha}{cos^2\alpha}=\frac{cos^2\alpha-sin^2\alpha}{cos^2\alpha}=\frac{cos2\alpha}{cos^2\alpha}$

Answer 2

Для доказательства данного тождества, воспользуемся тригонометрическими тождествами:

1. Тригонометрическое тождество "тангенс суммы": tg(A + B) = (tgA + tgB) / (1 - tgA * tgB)

2. Тождество "двойной угол": cos(2A) = cos^2(A) - sin^2(A)

Начнем с левой части тождества: 1 - tg^2(A)

Перепишем tg^2(A) как (tgA)^2 и применим тождество "тангенс суммы" для (A + A): tg(2A) = (tgA + tgA) / (1 - tgA * tgA) tg(2A) = 2tgA / (1 - tg^2(A))

Теперь выразим tg^2(A) из последнего уравнения: tg^2(A) = 2tgA / (1 - tg(2A))

Теперь перейдем к правой части тождества: cos(2A) / cos^2(A)

Используем тождество "двойной угол": cos(2A) = cos^2(A) - sin^2(A)

Теперь заменим sin^2(A) на 1 - cos^2(A), используя тождество "косинус-синус": cos(2A) = cos^2(A) - (1 - cos^2(A)) cos(2A) = cos^2(A) - 1 + cos^2(A) cos(2A) = 2cos^2(A) - 1

Теперь, вернемся к правой части тождества: 2cos^2(A) - 1 / cos^2(A)

Разделим числитель и знаменатель на cos^2(A): 2 - 1/cos^2(A)

Теперь, заменим 1/cos^2(A) на tg^2(A) по полученному выше выражению: 2 - tg^2(A)

Мы получили ту же самую формулу, что и в левой части тождества. Таким образом, левая часть равна правой, что доказывает данное тождество:

1 - tg^2(A) = cos(2A) / cos^2(A)