Question

На эллипсе 9x*х + 25y*у= 225 найдите точки где фокальные радиусы были взаимно перпендикулярны

Answer 1

Дан эллипс 9х² + 25у² = 225 с центром в начале координат.

Или (х²/25) + (у²/9) = 1.

В нём а = 5, в = 3.

Находим расстояние до фокусов - это величина "с".

с = √(a² - b²) = √(25 - 9) = √16 = 4.

Точки, где фокальные радиусы взаимно перпендикулярны. лежат на окружности радиусом 4 с центром в начале координат.

Тогда координаты искомых точек удовлетворяют решению системы:

9х² + 25у² = 225,

х² + у² = 16.  х² = 16 - у² подставим в первое уравнение.

9(16 - у²) = 25у² = 225.

144 - 9у² + 25у² = 225.

16у² = 81.    у = +- 9/4.

х = √(16 - (81/16) = +-5√7/4.

То есть на эллипсе есть 4 точки, в которых фокальные радиусы взаимно перпендикулярны.

((9/4); (5√7/4)),

((9/4); (-5√7/4)),

((-9/4); (5√7/4)),

((-9/4); (-5√7/4)).

Answer 2

Чтобы найти точки на эллипсе, в которых фокальные радиусы взаимно перпендикулярны, мы должны использовать свойство эллипса, что фокальные радиусы проходят через фокусы и касаются эллипса в его вершинах.

Уравнение эллипса дано: 9x^2 + 25y^2 = 225

Сначала найдем фокусы эллипса. Пусть фокусы находятся в точках (a, 0) и (-a, 0), где a - фокусное расстояние. Для эллипса с уравнением x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1, фокусное расстояние вычисляется по формуле: c = sqrt(a^2 - b^2).

В данном случае a^2 = 25 и b^2 = 9, следовательно, c = sqrt(25 - 9) = sqrt(16) = 4. Таким образом, фокусы находятся в точках (4, 0) и (-4, 0).

Теперь мы можем найти точки на эллипсе, в которых фокальные радиусы перпендикулярны. Эти точки будут вершинами эллипса, так как фокальные радиусы проходят через фокусы и касаются эллипса в его вершинах.

Для этого найдем производные уравнения эллипса:

d(9x^2)/dx = 18x d(25y^2)/dy = 50y

Установим обе производные равными нулю, чтобы найти критические точки:

18x = 0 => x = 0 50y = 0 => y = 0

Таким образом, у нас есть две критические точки: (0, 0).

Теперь найдем фокальные радиусы в этих точках. Фокальные радиусы - это расстояния от фокусов до критических точек.

Для первой критической точки (0, 0):

Расстояние от (0, 0) до (4, 0) (фокуса) = 4 Расстояние от (0, 0) до (-4, 0) (фокуса) = 4

Таким образом, фокальные радиусы для этой точки равны 4 и 4.

Проверим, являются ли фокальные радиусы перпендикулярными:

Два вектора перпендикулярны, если и только если их скалярное произведение равно нулю.

Вектор, соединяющий точку (0, 0) с (4, 0), равен (4, 0), а вектор, соединяющий точку (0, 0) с (-4, 0), равен (-4, 0).

Скалярное произведение этих векторов:

(4, 0) • (-4, 0) = 4 * -4 + 0 * 0 = -16

Поскольку скалярное произведение не равно нулю, фокальные радиусы для этой точки не являются перпендикулярными.

Вторая критическая точка также будет иметь аналогичные результаты.

Таким образом, на эллипсе 9x^2 + 25y^2 = 225 нет точек, где фокальные радиусы были бы взаимно перпендикулярны.