Question

Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функций у=2-lхl и y=x^2

Answer 1

Фигура симметричная, так что можно посчитать половину площади и умножить на 2.  

Взять определенный интенграл разности двух функций.  

Либо от -1 до 0, либо от 0 до 1.

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиками функций y = 2 - |x| и y = x^2, необходимо найти точки их пересечения и определить, какая из функций находится выше в каждом из участков, чтобы правильно определить пределы интегрирования.

Давайте начнем с нахождения точек пересечения функций. Для этого приравняем их:

2 - |x| = x^2

Теперь решим уравнение:

x^2 + |x| - 2 = 0

Заметим, что уравнение нелинейное, поскольку присутствует модуль |x|. Разделим его на два уравнения в зависимости от знака аргумента модуля:

1. x^2 + x - 2 = 0 => (x + 2)(x - 1) = 0 => x = -2 или x = 1

2. x^2 - x - 2 = 0 => (x + 1)(x - 2) = 0 => x = -1 или x = 2

Таким образом, у нас есть четыре точки пересечения: x = -2, x = -1, x = 1 и x = 2.

Теперь определим, какая из функций находится выше на каждом из участков:

1. Для x < -2: y = 2 - |x| больше, чем y = x^2, так как |x| будет отрицательным при x < -2, и тогда y = 2 + (отрицательное число) будет больше, чем y = x^2. Площадь на этом участке будет равна интегралу y = 2 - |x| от x = -∞ до x = -2.

2. Для -2 ≤ x < -1: y = x^2 больше, чем y = 2 - |x|, так как при -2 ≤ x < -1 оба выражения 2 - |x| и x^2 положительны, но x^2 будет больше, чем 2 - |x|. Площадь на этом участке будет равна интегралу y = x^2 от x = -2 до x = -1.

3. Для -1 ≤ x < 1: y = 2 - |x| больше, чем y = x^2, так как при -1 ≤ x < 1 значения |x| и x^2 равны. Площадь на этом участке будет равна интегралу y = 2 - |x| от x = -1 до x = 1.

4. Для 1 ≤ x < 2: y = x^2 больше, чем y = 2 - |x|, так как при 1 ≤ x < 2 оба выражения 2 - |x| и x^2 положительны, но x^2 будет больше, чем 2 - |x|. Площадь на этом участке будет равна интегралу y = x^2 от x = 1 до x = 2.

5. Для x ≥ 2: y = 2 - |x| больше, чем y = x^2, так как |x| будет равно x при x ≥ 2, и тогда y = 2 - x будет больше, чем y = x^2. Площадь на этом участке будет равна интегралу y = 2 - |x| от x = 2 до x = +∞.

Теперь вычислим эти интегралы:

1. Интеграл y = 2 - |x| от x = -∞ до x = -2: ∫(2 - |x|) dx = ∫(2 + x) dx от x = -∞ до x = -2 = [2x + x^2/2] от x = -∞ до x = -2 = [2(-2) + (-2)^2/2] - [2(-∞) + (-∞)^2/2] = (-4 + 2) - (-∞) = -2 + ∞ (неопределенный предел) = ∞

2. Интеграл y = x^2 от x = -2 до x = -1: ∫(x^2) dx = (x^3/3) от x = -2 до x = -1 = [(-1)^3/3] - [(-2)^3/3] = (-1/3) + (8/3) = 7/3

3. Интеграл y = 2 - |x| от x = -1 до x = 1: ∫(2 - |x|) dx = ∫(2 + x) dx от x = -1 до x = 1 = [2x + x^2/2] от x = -1 до x = 1 = [2(1) + (1)^2/2] - [2(-1) + (-1)^2/2] = (2 + 1/2) - (-2 + 1/2) = 5/2 + 5/2 = 5

4. Интеграл y = x^2 от x = 1 до x = 2: ∫(x^2) dx = (x^3/3) от x = 1 до x = 2 = [(2)^3/3] - [(1)^3/3] = (8/3) - (1/3) = 7/3

5. Интеграл y = 2 - |x| от x = 2 до x = +∞: ∫(2 - |x|) dx = ∫(2 - x) dx от x = 2 до x = +∞ = [2x - x^2/2] от x = 2 до x = +∞ = [2(+∞) - (+