Question

Помогите решить (Даю много баллов): Найти значение выражения 1. arccos(-√2/2)+arctg1+arcsin1= Решить уравнение: 1. Sin(П/2-x)= -√2/2 2.Sin²x+5Sinx+4=0 3.Sin4x+Cos²x=1

Answer 1

на 2)  Разлагаем на множители левую часть уравнения.

Пусть u=sin(x)

. Подставим u везде вместо sin(x)

u2+5u+4

Разложим u2+5u+4на множители с помощью группировки.

Рассмотрим x2+bx+c

. Найдем пару целых чисел, произведение которых равно c, а сумма равна b. В данном случае произведение равно 4, а сумма равна 5.

1;4

Запишем разложение на множители, используя эти целые числа.

(u+1)(u+4)

Заменим все uна sin(x)

(sin(x)+1)(sin(x)+4)

Заменим левую часть на выражение, разложенное на множители.

(sin(x)+1)(sin(x)+4)=0

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен 0, то и все выражение будет равняться 0

sin(x)+1=0

sin(x)+4=0

Приравняем первый множитель к 0и решим.

Приравняем первый множитель к 0

sin(x)+1=0

Вычтем 1из обеих частей уравнения.

sin(x)=−1

Упростим выражение, чтобы найти первое решение.

Найдем обратный синус от обеих частей уравнения, чтобы извлечь x

из-под синуса.

x=arcsin(−1)

Точное значение arcsin(−1)равно −π2.

x=−π2

Функция синуса принимает отрицательные значения в третьем и четвертом квадрантах. Для определения второго решения вычитаем решение из 2π, чтобы найти угол приведения. Затем прибавляем данный угол приведения к π, чтобы найти решение в третьем квадранте.

x=2π+π2+π

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Упростим правую часть.

Для записи 2π1в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на 22.

x=2π1⋅22+π2+π

Запишем каждое выражение с общим знаменателем , умножив на подходящий множитель 1

Скомбинируем.

x=2π⋅21⋅2+π2+π

Умножим 2на 1.

x=2π⋅22+π2+π

Скомбинируем числители с общим знаменателем.

x=2π⋅2+π2+π

Упростим числитель.

Умножим 2на 2

.

x=4π+π2+π

Складываем 4πи π.

x=5π2+π

Для записи π1в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на 22.

x=5π2+π1⋅22

Запишем каждое выражение с общим знаменателем 2, умножив на подходящий множитель 1

Скомбинируем. x=5π2+π⋅21⋅2

Умножим 2на 1.

x=5π2+π⋅22

Скомбинируем числители с общим знаменателем.

x=5π+π⋅22

Упростим числитель.

Перенесем 2в левую часть выражения π⋅2.

x=5π+2⋅π2

Умножим 2на π.

x=5π+2π2

Складываем 5π и 2π.

x=7π2

Вычтем 2πиз 7π2.

x=7π2−2π

Результирующий угол 3π2

котерминален углу 7π2, положителен, и его величина менее 2π.

x=3π2

Найдем период.

Период функции можно вычислить с помощью 2π|b|.

2π|b|

Подставим 1 вместо b в формуле для периода.

2π|1|

Решим уравнение.

Модуль - это расстояние между числом и нулем. Расстояние между 0

и 1 равно 1.

2π1

Делим 2π на 1.

2π

Прибавим 2π к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите, чтобы отобразить меньше шагов...

Прибавим 2π к −π2, чтобы найти положительный угол.

−π2+2π

Для записи 2π 1 в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на 22.

2π122−π2

Запишем каждое выражение с общим знаменателем 2, умножив на подходящий множитель 1

Скомбинируем.

2π⋅21⋅2−π2

Умножим 2на 1.

2π⋅22−π2

Скомбинируем числители с общим знаменателем.

2π⋅2−π2

Упростим числитель.

Умножим 2на 2.

4π−π2

Вычтем π из 4π.

3π2

Запишем новые углы.

x=3π2

Период функции sin(x)равен 2π, то есть значения будут повторяться через каждые 2π радиан в обоих направлениях.x=3π2±2πn;3π2±2πn

Объединяем ответы.

x=3π2±2πn

Приравняем следующий множитель к 0и решим.

Приравняем следующий коэффициент к 0.sin(x)+4=0

Вычтем 4из обеих частей уравнения.

sin(x)=−4

Область значений синуса: −1≤y≤1

. Поскольку −4не попадает в этот интервал, решений нет.

Нет решения

Итоговым решением являются все значения, обращающие (sin(x)+1)(sin(x)+4)=0в верное тождество.

x=3π2±2πn

на

Answer 2

Давайте решим задачи по порядку:

1. Найти значение выражения: Для решения этого выражения, мы сначала вычислим каждое из слагаемых, а затем их сумму.

1. arccos(-√2/2): Это угол, чей косинус равен -√2/2. Такой угол находится во II и III квадрантах (потому что там косинус отрицательный). Учитывая, что косинус равен значению x-координаты на единичной окружности, мы находим этот угол, который равен π/4.
2. arctg1: Это угол, чей тангенс равен 1. Тангенс равен значению y-координаты на единичной окружности, поэтому этот угол равен π/4.
3. arcsin1: Это угол, чей синус равен 1. Синус угла равен значению y-координаты на единичной окружности, поэтому этот угол равен π/2.

Теперь вычислим сумму:

1. arccos(-√2/2) + arctg1 + arcsin1 = π/4 + π/4 + π/2 = (π + π + 2π) / 4 = 4π / 4 = π

Ответ: Значение выражения равно π.

2. Решить уравнение: Sin(π/2 - x) = -√2/2 Первым шагом, найдем угол, чей синус равен -√2/2. Это угол, находящийся в III квадранте, и его значение равно -π/4.

Теперь у нас есть уравнение: Sin(π/2 - x) = -√2/2 По тригонометрической формуле синуса разности: Sin(π/2 - x) = cos(x)

Таким образом, уравнение становится: cos(x) = -√2/2

Найдем углы, чей косинус равен -√2/2. Это углы, находящиеся во II и III квадрантах. Один из таких углов - π/4.

Теперь составим уравнение: cos(x) = -√2/2 x = π/4

Ответ: x = π/4.

3. Решить уравнение: Sin^2x + 5Sin(x) + 4 = 0 Данное уравнение является квадратным относительно Sin(x). Пусть Sin(x) = t, тогда уравнение примет вид:

t^2 + 5t + 4 = 0

Данное уравнение можно решить с помощью факторизации или квадратного уравнения:

(t + 4)(t + 1) = 0

Таким образом, получаем два возможных значения для t:

1. t + 4 = 0 => t = -4
2. t + 1 = 0 => t = -1

Теперь вернемся к исходной переменной Sin(x):

1. Sin(x) = -4 Но синус угла не может быть больше 1 или меньше -1, поэтому это значение не подходит.

2. Sin(x) = -1 Теперь найдем угол, чей синус равен -1. Это угол - π/2.

Ответ: x = π/2.

4. Решить уравнение: Sin(4x) + Cos^2x = 1 Сначала заметим, что Cos^2x = 1 - Sin^2x (по тригонометрической формуле для Cos^2x).

Теперь подставим это в уравнение: Sin(4x) + (1 - Sin^2x) = 1

Распишем Sin(4x) по формуле двойного угла для синуса: 2Sin(2x)Cos(2x) + (1 - Sin^2x) = 1

Далее, заметим, что 2Sin(2x)Cos(2x) = Sin(4x), поэтому уравнение упрощается:

Sin(4x) + (1 - Sin^2x) = 1 Sin(4x) + 1 - Sin^2x = 1 Sin(4x) - Sin^2x = 0

Факторизуем:

Sin^2x (1 - Sin^2x) = 0

Теперь получаем два возможных значения Sin(x):

1. Sin^2x = 0 => Sin(x) = 0
2. 1 - Sin^2x = 0 => Sin^2x = 1 => Sin(x) = ±1

Теперь найдем углы с этими значениями Sin(x):

1. Sin(x) = 0 Угол, чей синус равен 0, равен 0.

2. Sin(x) = 1 Угол, чей синус равен 1, равен π/2.

3. Sin(x) = -1 Угол, чей синус равен -1, равен -π/2.

Ответ: x = 0, π/2, -π/2.