Question

помогите математическая инудкция

Answer 1

1) Базис индукции: n=1

$(2\cdot 1-1)^2=\dfrac{1\cdot(2\cdot1-1)(2\cdot 1+1)}{3}\\\\1=1$

2) Предположим что и при n=k равенство верно

$1^2+2^2+3^2+...+(2n-1)^2=\dfrac{k(2k-1)(2k+1)}{3}$

3) Индукционный переход: n = k+1

$\underbrace{1^2+2^2+3^2+...+(2k-1)^2}_{\dfrac{k(2k-1)(2k+1)}{3}}+(2(k+1)-1)^2=\dfrac{(k+1)(2k+1)(2k+3)}{3}$

Докажем теперь равенство, а именно покажем что левая часть равна правой части.

$\dfrac{k(2k-1)(2k+1)}{3}+(2(k+1)-1)^2=\dfrac{k(2k-1)(2k+1)}{3}+(2k+1)^2=\\ \\ =\dfrac{k(2k-1)(2k+1)+3(2k+1)^2}{3}=\dfrac{(2k+1)(k(2k-1)+3(2k+1))}{3}=\\ \\ =\dfrac{(2k+1)(2k^2-k+6k+3)}{3}=\dfrac{(2k+1)(2k^2+2k+3k+3)}{3}=\\ \\ =\dfrac{(2k+1)((2k(k+1)+3(k+1))}{3}=\dfrac{(2k+1)(k+1)(2k+3)}{3}$

Что и требовалось доказать

Answer 2

Конечно, я помогу! Математическая индукция - это метод математического доказательства, который часто используется для доказательства утверждений, верных для всех натуральных чисел (например, для всех положительных целых чисел). Процесс индукции состоит из двух шагов: базовый шаг и шаг индукции.

1. Базовый шаг: Сначала нужно доказать, что утверждение верно для начального значения (обычно это значение равно 1 или 0, в зависимости от контекста). То есть, нужно показать, что утверждение верно для наименьшего значения, для которого оно должно быть верным.

2. Шаг индукции: Предположим, что утверждение верно для некоторого произвольного, но фиксированного значения k. Затем докажем, что это же утверждение верно и для k+1.

После этих двух шагов можно заключить, что утверждение верно для всех натуральных чисел, начиная с базового значения и далее по возрастанию.

Пример:

Давайте докажем, используя математическую индукцию, что сумма первых n натуральных чисел равна n * (n + 1) / 2.

Шаг 1 - Базовый шаг: При n = 1, сумма первых одного натурального числа равна 1 * (1 + 1) / 2 = 1. Это утверждение верно.

Шаг 2 - Шаг индукции: Предположим, что утверждение верно для некоторого произвольного, но фиксированного значения k. Тогда сумма первых k натуральных чисел равна k * (k + 1) / 2.

Теперь докажем, что утверждение верно для k + 1: Сумма первых (k + 1) натуральных чисел будет равна сумме первых k чисел плюс (k + 1): Сумма первых (k + 1) натуральных чисел = k * (k + 1) / 2 + (k + 1) = (k^2 + k) / 2 + (k + 1) = (k^2 + k + 2k + 2) / 2 = (k^2 + 3k + 2) / 2 = (k + 1) * (k + 2) / 2

Таким образом, утверждение верно и для k + 1.

Так как базовый шаг и шаг индукции выполнены, мы можем заключить, что сумма первых n натуральных чисел равна n * (n + 1) / 2 для всех натуральных чисел n.