Question

Решить уравнение A)3^1-2x=45x (3 в степени 1-2x равно 45x) б) 2^x+1=5^1-3x (2 в степени x+1 равно 5 в степени 1-3x)

Answer 1

a

$3^{1-2x} = 45x\\3 = 9^{x}\cdot 9\cdot 5 x\\\frac{3}{45} = x9^x | \ln9\\\frac{3\ln(9)}{45} = x\ln(9)\,e^{x\ln(9)}$

Введём W-функцию Ламберта. Её свойство: $f(x)e^{f(x)} = y \Rightarrow f(x) = W(y)$.

Тогда,

$x \ln(9) = W(\frac{3\ln(9)}{45}) \Rightarrow x = \frac{W(\frac{3\ln(9)}{45})}{\ln(9)}$

б

$2^{x+1} = 5^{1 -3x}$

$2^{x+1} = 2^{(1 - 3x)\ln(5)}\\x + 1 = (1 - 3x)\ln(5)\\x + 3x\ln(5) = \ln(5) - 1\\x = \frac{\ln(5) - 1}{1 + 3\ln(5)}$

Answer 2

Давайте решим оба уравнения по очереди:

A) 3^(1-2x) = 45x

Для начала, давайте преобразуем уравнение, чтобы избавиться от степени:

3^(1-2x) = 45x

3^1 * 3^(-2x) = 45x

3 * (1/3^(2x)) = 45x

Теперь давайте избавимся от дроби, помножив обе стороны на 3^(2x):

3 * 3^(2x) * (1/3^(2x)) = 45x * 3^(2x)

3 = 45x * 3^(2x)

Теперь выразим 3^(2x) через 3:

3^(2x) = 3^(2x)

Теперь сравниваем степени:

2x = 0

x = 0

Таким образом, решение уравнения A) это x = 0.

B) 2^(x+1) = 5^(1-3x)

Для этого уравнения также преобразуем степени:

2^(x+1) = 5^(1-3x)

Теперь приведем обе стороны к одной и той же степени (2 или 5):

2^(x+1) = 5 * 5^(-3x)

2^(x+1) = 5 / 5^(3x)

Теперь можем выразить 5^(3x) через 2:

2^(x+1) = 5 / 2^(3x)

Теперь приведем обе стороны к одной и той же степени (2 или 5):

2^(x+1) = 5 / 2^(3x)

2^(x+1) = 2^(-3x) / 5

Теперь, чтобы избавиться от знаменателя, перемножим обе стороны на 5:

5 * 2^(x+1) = 2^(-3x)

Теперь используем свойство степени: a^m * a^n = a^(m+n):

5 * 2 * 2^x = 2^(-3x)

10 * 2^x = 2^(-3x)

Теперь преобразуем обе стороны уравнения к степеням 2:

2^x * 10 = 2^(-3x)

Теперь, чтобы произведение равнялось, степени должны быть равны:

x * log₂(10) = -3x

Теперь выразим x:

log₂(10) * x = -3x

log₂(10) * x + 3x = 0

x (log₂(10) + 3) = 0

Теперь разделим обе стороны на (log₂(10) + 3):

x = 0 / (log₂(10) + 3)

x ≈ -0.63093

Таким образом, решение уравнения B) это x ≈ -0.63093.