Question

Найдите значение выражения: 1/1·2 + 1/2·3 + 1/3·4 + 1/4·5 + ... + 1/99·100

Answer 1

0.99. Решение задания приложено

Answer 2

1/(n(n+1) = (n+1 - n) /(n(n+1)) = (n+1)/(n(n+1)) - n/(n(n+1)) = 1/n - 1/(n+1)

для примера 1/3*4 = 1/3 - 1/4

раскрываем весь ряд

1/1*2 + 1/2*3 + 1/3*4 + ... + 1/99*100 = 1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + 1/3 - 1/4 + ....+ 1/98 - 1/99 + 1/99 - 1/100 = 1 - 1/100 = 99/100

Answer 3

Данное выражение является суммой ряда, и его можно переписать в более удобной форме. Наблюдая числители дробей, можно заметить, что они образуют арифметическую прогрессию с шагом 1, начинающуюся с 1. Таким образом, выражение можно представить следующим образом:

1/1·2 + 1/2·3 + 1/3·4 + 1/4·5 + ... + 1/99·100 = Σ (1/n·(n+1)), где Σ - обозначает сумму, а n принимает значения от 1 до 99.

Для нахождения значения этой суммы, воспользуемся формулой для суммы арифметической прогрессии:

Σ (1/n·(n+1)) = Σ (1/n - 1/(n+1)).

Теперь сократим слагаемые:

Σ (1/n - 1/(n+1)) = (1/1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + (1/3 - 1/4) + ... + (1/99 - 1/100).

Многие члены в сумме сократятся, оставив только первый и последний:

= 1 - 1/100 = 99/100.

Таким образом, значение выражения равно 99/100.