Question

В четырехугольнике MNPK, NP║MK. Биссектриса ∠NMK пересекает сторону NP в точке R. Докажите, что ΔNMR равнобедренный.

Answer 1

Ответ к задаче во вложении

Answer 2

Для доказательства того, что треугольник ΔNMR (треугольник, образованный вершинами N, M и R) равнобедренный, нам необходимо показать, что длины двух его сторон равны.

Дано:

1. Четырехугольник MNPK, где NP║MK (то есть сторона NP параллельна стороне MK).
2. Биссектриса ∠NMK пересекает сторону NP в точке R.

Доказательство: Шаг 1: Докажем, что ∠NMK = ∠KMR (углы NMR и KMR равны).

Известно, что биссектриса угла делит его на два равных угла. Таким образом, угол ∠NMK и угол ∠KMR равны, так как они оба половина угла ∠NMK.

Шаг 2: Докажем, что ∆NMR и ∆KMR подобны.

У нас уже есть, что ∠NMK = ∠KMR. Также, из параллельных прямых NP и MK следует, что углы ∠NMR и ∠KRM также равны (по теореме об альтернативных углах). Таким образом, углы ∠NMR и ∠KRM равны между собой.

Шаг 3: Докажем, что ∆NMR и ∆KMR имеют общий угол.

Общий угол у ∆NMR и ∆KMR - это угол ∠MRK.

Шаг 4: Из подобия ∆NMR и ∆KMR следует, что отношение длины стороны MR к длине стороны RM одинаково.

Таким образом, стороны MR и RM равны между собой, что делает треугольник ∆NMR равнобедренным.

Итак, доказано, что треугольник ∆NMR равнобедренный, так как у него две равные стороны NM и NR.