Question

Последовательность (zn) - арифметическая прогрессия. Докажите что z1+z16=z10+z7

Answer 1

$z_{16}=z_1+15\cdot d\\\\z_{10}=z_1+9\cdot d\\\\z_7=z_1+6\cdot d\\\\z_1+z_{16}=z_1+(z_1+15d)=\underline {2z_1+15d}\\\\z_{10}+z_7=(z_1+9d)+(z_1+6d)=\underline {2z_1+15d}\qquad \Rightarrow \\\\z_1+z_{16}=z_{10}+z_7$

Answer 2

Для доказательства равенства $z_1 + z_{16} = z_{10} + z_7$ в арифметической прогрессии, нам понадобится использовать формулу общего члена арифметической прогрессии. Арифметическая прогрессия задается следующим образом:

$z_n = z_1 + (n-1)d,$

где $z_n$ - $n$-й член прогрессии, $z_1$ - первый член прогрессии, $d$ - разность между соседними членами прогрессии.

Мы хотим доказать, что $z_1 + z_{16} = z_{10} + z_7$:

$z_1 + (16-1)d = z_{10} + (7-1)d.$

Теперь давайте преобразуем выражение:

$z_1 + 15d = z_{10} + 6d.$

Для дальнейшего доказательства, нам понадобится еще одно свойство арифметической прогрессии, которое гласит: средние члены двух равных по сумме прогрессий равны.

То есть, если у нас есть две арифметические прогрессии с одинаковой суммой элементов, то средний член первой прогрессии равен среднему члену второй прогрессии.

Теперь вернемся к нашему выражению:

$z_1 + 15d = z_{10} + 6d.$

Для прогрессии $z_1, z_2, z_3, \ldots, z_{10}$ и $z_1, z_2, z_3, \ldots, z_{16}$ с одинаковой суммой элементов (поскольку это одна и та же прогрессия), средний член прогрессии $z_1, z_2, z_3, \ldots, z_{10}$ равен среднему члену прогрессии $z_1, z_2, z_3, \ldots, z_{16}$.

Средний член прогрессии $z_1, z_2, z_3, \ldots, z_{10}$ - это $z_7$, а средний член прогрессии $z_1, z_2, z_3, \ldots, z_{16}$ - это $z_{10}$.

Таким образом, мы получаем:

$z_{10} = z_7.$

Теперь вернемся к исходному выражению:

$z_1 + 15d = z_{10} + 6d.$

Заменим $z_{10}$ на $z_7$:

$z_1 + 15d = z_7 + 6d.$

Теперь выразим $z_1$ через $z_7$ и $d$:

$z_1 = z_7 + 6d - 15d.$

$z_1 = z_7 - 9d.$

Теперь мы можем записать выражение для $z_{16}$ через $z_7$ 0 0