Question

Подскажите как решить: Интеграл: (x^5 - x^3 + 1) / (x^2 - x) Интеграл: cosx / (1 + cosx + sinx)

Answer 1

См. на фото как решить:

Интеграл: (x^5 - x^3 + 1) / (x^2 - x)

Интеграл: cosx / (1 + cosx + sinx)

Answer 2

Для решения интегралов, сначала рассмотрим каждый из них по отдельности.

1. Интеграл: ∫(x^5 - x^3 + 1) / (x^2 - x) dx

Для начала разделим числитель на знаменатель, чтобы получить дробь:

(x^5 - x^3 + 1) / (x^2 - x) = (x^3(x^2 - 1) + 1) / (x^2 - x)

Теперь произведем разложение дроби на простейшие:

(x^5 - x^3 + 1) / (x^2 - x) = (x^3(x - 1)(x + 1) + 1) / (x(x - 1))

Теперь разделим интеграл на два:

∫(x^3(x - 1)(x + 1) + 1) / (x(x - 1)) dx

Интегрируем каждое слагаемое по отдельности:

∫(x^3(x - 1)(x + 1)) / (x(x - 1)) dx + ∫1 / (x(x - 1)) dx

1. Интеграл ∫(x^3(x - 1)(x + 1)) / (x(x - 1)) dx

Разложим дробь и произведем интегрирование:

∫(x^3(x - 1)(x + 1)) / (x(x - 1)) dx = ∫(x^3(x + 1)) / (x(x - 1)) dx

Теперь раскроем скобку и поделим многочлены:

∫(x^3(x + 1)) / (x(x - 1)) dx = ∫(x^4 + x^3) / (x(x - 1)) dx

Разделим многочлены на x:

∫(x^4 + x^3) / (x(x - 1)) dx = ∫(x^3 + x^2) / (x - 1) dx

Теперь проинтегрируем:

∫(x^3 + x^2) / (x - 1) dx = ∫(x^2(x - 1) + x^2 + x) / (x - 1) dx

Разложим дробь и произведем интегрирование:

∫(x^2(x - 1) + x^2 + x) / (x - 1) dx = ∫(x^2) dx + ∫(x) dx = (x^3 / 3) + (x^2 / 2) + C1

Где C1 - произвольная постоянная.

2. Интеграл ∫1 / (x(x - 1)) dx

Разложим дробь на простейшие:

1 / (x(x - 1)) = A / x + B / (x - 1)

Умножим обе части на x(x - 1):

1 = A(x - 1) + Bx

Подставим x = 0:

1 = -A

Подставим x = 1:

1 = B

Таким образом, разложение на простейшие выглядит следующим образом:

1 / (x(x - 1)) = -1 / x + 1 / (x - 1)

Теперь проинтегрируем:

∫1 / (x(x - 1)) dx = ∫(-1 / x + 1 / (x - 1)) dx

= -∫1 / x dx + ∫1 / (x - 1) dx

= -ln|x| + ln|x - 1| + C2

Где C2 - еще одна произвольная постоянная.

Теперь, объединим результаты для обоих интегралов:

∫(x^5 - x^3 + 1) / (x^2 - x) dx = ∫(x^3 + x^2) / (x - 1) dx + ∫1 / (x(x - 1)) dx

= (x^3 / 3) + (x^2 / 2) - ln|x| + ln|x - 1| + C

Где C = C1 + C2 - общая произвольная постоянная.