Question

(cos(x+y))/sinxsiny=ctgx ctgy-1докажите тождество

Answer 1

Доказательство во вкладке.

Answer 2

Для доказательства данного тождества, начнем с левой стороны и преобразуем ее в выражение, равное правой стороне:

Имеем: (cos(x+y))/(sinx*siny) = ctgx * ctgy - 1

Начнем с левой стороны:

(cos(x+y))/(sinx*siny)

Для упрощения заменим cos(x+y) на соответствующее тригонометрическое тождество: cos(x+y) = cosxcosy - sinxsiny

Теперь подставим это в левую сторону:

(cosxcosy - sinxsiny) / (sinx * siny)

Разделим числитель на синусное произведение:

cosxcosy/sinx - sinxsiny/sinx * 1/siny

Поделим cosx на sinx и siny на siny (это возможно, так как sinx и siny не равны нулю при условии x ≠ kπ и y ≠ kπ, где k - целое число):

cotx - coty

Теперь, правая сторона:

ctgx * ctgy - 1

Мы знаем, что cotx = 1/tgx и coty = 1/tgy, поэтому заменим их:

(1/tgx) * (1/tgy) - 1

Теперь умножим дроби:

1/(tgx*tgy) - 1

Теперь найдем общий знаменатель и преобразуем в одну дробь:

(tgxtgy)/(tgxtgy) - (tgxtgy)/(tgxtgy)

Обратите внимание, что tgx*tgy ≠ 0 при условии x ≠ kπ/2 и y ≠ kπ/2, где k - целое число.

Теперь вычитаем дроби:

0

Таким образом, левая сторона (cotx - coty) совпадает с правой стороной (0), что и требовалось доказать.