Question

Решите уравнение ctg(pi*x)-tg(pi*x)

Answer 1

$> tg^2a=1; tga=б1\\pi*x=бpi/4+pi*n$ Проверяем, что tg не равен нулю, да.

Ответ: x=±1/4+n, n∈Z

Answer 2

ctg(πx) - tg(πx) = 0

Перенесём тангенс вправо:

ctg(πx) = tg(πx)

По определению котангенса - это обратный тангенс:

1/tg(πx) = tg(πx)

Домножим обе части на tg(πx):

tg²(πx) = 1

tg(πx) = 1

πx = π/4 + πn, n ∈ Z

x = ¹/₄ + n, n ∈ Z

tg(πx) = -1

πx = -π/4 + πn, n ∈ Z

x = -¹/₄ + n, n ∈ Z

Answer 3

Для решения уравнения ctg(pix) - tg(pix) = 0, сначала заменим ctg(x) на 1/tg(x):

1/tg(pix) - tg(pix) = 0

Теперь умножим обе части уравнения на tg(pix) (допустим, tg(pix) ≠ 0):

1 - (tg(pi*x))^2 = 0

Заметим, что 1 - (tg(pi*x))^2 представляет собой тригонометрическую разность квадратов:

(1 - tg(pix))(1 + tg(pix)) = 0

Теперь решим два уравнения:

1 - tg(pix) = 0 или 1 + tg(pix) = 0

1. Решение уравнения 1 - tg(pi*x) = 0:

tg(pi*x) = 1

Тангенс угла равен 1 при pi/4. Таким образом:

pi*x = pi/4

x = 1/4

2. Решение уравнения 1 + tg(pi*x) = 0:

tg(pi*x) = -1

Тангенс угла равен -1 при -pi/4 или 3pi/4. Таким образом:

pix = -pi/4 или pix = 3pi/4

x = -1/4 или x = 3/4

Итак, уравнение имеет два решения: x = 1/4 и x = -1/4, а также возможное дополнительное решение x = 3/4. При этих значениях x уравнение ctg(pix) - tg(pix) будет равно 0.