Question

Докажите тождество 1/cod в -cos в = sinв tgв

Answer 1

1/cos в -cos в = sinв tgв

1/cosв-cosв=

(1-(cos в)^2)/cosв=

(sin в)^2/cosв=sinв×tgв

sinв tgв=sinв tgв

Answer 2

Для доказательства данного тождества, начнем с левой стороны (ЛС) и постепенно преобразуем ее к правой стороне (ПС), используя тригонометрические тождества. Для удобства обозначим угол в буквой "a".

Левая сторона (ЛС): 1 / cos^2(a)

Теперь, вспомним тригонометрическое тождество: tg^2(a) + 1 = sec^2(a)

Разделим обе части этого тождества на cos^2(a): tg^2(a) / cos^2(a) + 1 / cos^2(a) = sec^2(a) / cos^2(a)

Заменим выражение sec^2(a) / cos^2(a) на 1: tg^2(a) / cos^2(a) + 1 / cos^2(a) = 1

Теперь приведем слагаемые к общему знаменателю: (tg^2(a) + 1) / cos^2(a) = 1

Теперь используем тригонометрическое тождество tg^2(a) + 1 = sec^2(a): sec^2(a) / cos^2(a) = 1

Теперь выразим sec^2(a) через 1 / cos^2(a): 1 / cos^2(a) = 1

Правая сторона (ПС): sin^2(a) / cos^2(a)

Теперь, используем тригонометрическое тождество sin^2(a) + cos^2(a) = 1: cos^2(a) = 1 - sin^2(a)

Подставим это в ПС: sin^2(a) / (1 - sin^2(a))

Теперь преобразуем ПС, используя тождество тангенса: tg^2(a) = sin^2(a) / (1 - sin^2(a))

Подставим это в ПС: tg^2(a) = tg^2(a)

Таким образом, ЛС равна ПС, что и требовалось доказать. Таким образом, тождество 1 / cos^2(a) = tg^2(a) верно.