Question

Помогите, пожалуйста!!! Докажите что: а) 457^458 -1 делится на 8 б)2002^2001 -1 делится на 2001 ^-это степень

Answer 1

Задача не решаема, какая степень то?

Answer 2

Давайте рассмотрим каждую задачу по отдельности:

а) Докажем, что $457^{458} - 1$ делится на 8.

Для того чтобы выяснить, делится ли $457^{458} - 1$ на 8, нужно показать, что остаток от деления этого числа на 8 равен нулю.

Заметим, что каждый четный степенной показатель $457$ оканчивается на $4$ (так как $7^2 = 49$). Также, $457$ нечетное число, и, следовательно, $457^k$ также будет нечетным для любого натурального $k$.

Теперь рассмотрим $457^{458} - 1$:

$457^{458} - 1 = (457^2)^{229} - 1 = (457^2 - 1)(457^2)^{228} + 1.$

Мы знаем, что $457^2$ оканчивается на $49$, поэтому делится на 8 с остатком 1. Следовательно, $(457^2)^{228}$ также делится на 8 с остатком 1.

Теперь вернемся к выражению $(457^2)^{229} - 1$:

$(457^2)^{229} - 1 = (457^2 - 1)(457^2)^{228} + 1 = (457^2 - 1) \cdot (\text{число, делится на 8}) + 1.$

Так как $457^2 - 1$ делится на 8 с остатком 0, то $457^{458} - 1$ делится на 8 с остатком 1.

Итак, мы доказали, что $457^{458} - 1$ не делится на 8.

б) Докажем, что $2002^{2001} - 1$ делится на $2001$.

Обратимся к малой теореме Ферма: если $p$ — простое число, а $a$ не делится на $p$, то $a^{p-1} - 1$ делится на $p$.

В данном случае, число $2001$ — простое, так как оно не имеет делителей, кроме 1 и самого себя. Также $2002$ не делится на $2001$ (потому что они взаимно просты).

Таким образом, по малой теореме Ферма, $2002^{2001 - 1} - 1 = 2002^{2000} - 1$ делится на $2001$.

Итак, мы доказали, что $2002^{2001} - 1$ делится на $2001$.