Question

Докажите, что число вида n(n+1)(n+2)(n+3)+1, где n- натуральное число, есть полный квадрат целого числа

Answer 1

Умножим  первую скобку на  4 , а   вторую  на  третью:

(n^2+3n)*(n^2+3n+2) +1

n^2+3n=k

k*(k+2)+1= k^2+2k+1=(k+1)^2

(n^2+3n)*(n^2+3n+2) +1= (n^2+3n+1)^2

n*(n+1)*(n+2)*(n+3)+1=(n^2+3n+1)^2

ЧТД

Answer 2

Для доказательства этого утверждения, докажем, что число вида n(n+1)(n+2)(n+3)+1 является полным квадратом целого числа для любого натурального числа n.

Для этого давайте выразим данное число как полный квадрат:

n(n+1)(n+2)(n+3)+1 = n(n+3)(n+1)(n+2) + 1

Теперь воспользуемся формулой разности квадратов:

a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)

Применим эту формулу к выражению n(n+3)(n+1)(n+2) + 1:

n(n+3)(n+1)(n+2) + 1 = [(n+3)(n+1)] [(n+2)n] + 1

Теперь заметим, что (n+3)(n+1) и (n+2)n являются соседними целыми числами. Тогда мы можем представить их в виде:

(n+3)(n+1) = n^2 + 4n + 3 (n+2)n = n^2 + 2n

Теперь вернемся к нашему выражению:

[(n+3)(n+1)] [(n+2)n] + 1 = (n^2 + 4n + 3)(n^2 + 2n) + 1

Раскроем скобки:

(n^2 + 4n + 3)(n^2 + 2n) = n^4 + 2n^3 + 4n^3 + 8n^2 + 3n^2 + 6n

n^4 + 2n^3 + 4n^3 + 8n^2 + 3n^2 + 6n = n^4 + 6n^3 + 11n^2 + 6n

Теперь добавим единицу:

n^4 + 6n^3 + 11n^2 + 6n + 1

Обратите внимание, что это выражение является полным квадратом. Действительно, это выражение можно представить в виде:

(n^2 + 3n + 1)^2

Таким образом, мы доказали, что n(n+1)(n+2)(n+3) + 1 является полным квадратом целого числа для любого натурального числа n.