Question

Прошу вашу помощь за хорошие баллы! 1. Найдите промежутки возрастания и убывания функции f(x)=(x+1)*e^x-1

Answer 1

$f(x)=(x+1)\cdot e^{x-1}\\\\f'(x)=e^{x-1}+(x+1)\cdot e^{x-1}=e^{x-1}\cdot (1+x+1)=(x+2)\cdot e^{x-1}=0\\\\e^{x-1}>0\; ,\; \; x+2=0\; ,\; \; x=-2\\\\znaki\; f'(x):\; \; ---(-2)+++\\\\.\qquad \qquad \qquad \quad \searrow \; \; (-2)\; \; \nearrow \\\\f(x)\; vozrastaet:\; \; x\in (-2,+\infty )\\\\f(x)\; ybuvaet:\; \; x\in (-\infty ,-2)\\\\x_{min}=-2\; ,\; f_{min}=-e^{-3}$

Answer 2

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции f(x) = (x + 1) * e^x - 1, нам понадобится вычислить её производную и проанализировать знаки производной.

1. Найдем производную функции f(x): f'(x) = d/dx[(x + 1) * e^x - 1] f'(x) = (x + 1) * d/dx[e^x] + e^x * d/dx[(x + 1)] - 0 f'(x) = (x + 1) * e^x + e^x f'(x) = e^x * (x + 2)

2. Теперь проанализируем знаки производной:

Приравняем f'(x) к нулю и найдем точки, в которых производная равна нулю: e^x * (x + 2) = 0

Так как e^x никогда не равно нулю, получаем: x + 2 = 0 x = -2

Теперь определим знаки производной в интервалах, разбивая число -2 на интервалы: a) Когда x < -2: Выберем x = -3 (любое число меньше -2). Подставим в производную: f'(-3) = e^(-3) * (-3 + 2) = -e^(-3) < 0

b) Когда x > -2: Выберем x = 0 (любое число больше -2). Подставим в производную: f'(0) = e^0 * (0 + 2) = 2 > 0

Таким образом, на интервале (-∞, -2) функция f(x) убывает, а на интервале (-2, +∞) возрастает.

Ответ: Промежуток убывания: (-∞, -2) Промежуток возрастания: (-2, +∞)