Question

Решите уравнения. 1. cos(x/3)-sin(x)=0 2. sin(2x)*sin(6x)=cos(x)*cos(3x)

Answer 1

_______________________________

Answer 2

Давайте решим уравнения по очереди:

1. Уравнение: cos(x/3) - sin(x) = 0

Для решения этого уравнения, давайте преобразуем его:

cos(x/3) - sin(x) = 0

Перенесем sin(x) на другую сторону:

cos(x/3) = sin(x)

Теперь возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от тригонометрических функций в знаменателе:

cos^2(x/3) = sin^2(x)

Используем тригонометрические тождества:

1 - sin^2(x/3) = sin^2(x)

Теперь заменим sin^2(x) на 1 - cos^2(x):

1 - sin^2(x/3) = 1 - cos^2(x)

Теперь выразим cos^2(x) через cos^2(x/3):

cos^2(x) = 1 - sin^2(x/3)

Теперь заменим sin^2(x/3) на 1 - cos^2(x/3):

cos^2(x) = 1 - (1 - cos^2(x/3))

cos^2(x) = cos^2(x/3)

Теперь выразим cos(x) через cos(x/3):

cos(x) = ±cos(x/3)

Теперь у нас есть два случая:

1. cos(x) = cos(x/3)

Для этого случая можем рассмотреть два подслучая:

a) x = x/3

3x = x

2x = 0

x = 0

b) cos(x) = cos(-x/3)

x = -x/3

4x = 0

x = 0

Таким образом, получаем два корня: x = 0 и x = 0.

2. cos(x) = -cos(x/3)

Для этого случая можем рассмотреть два подслучая:

a) x = π - x/3

3x = π

x = π/3

b) cos(x) = -cos(-x/3)

x = π + x/3

3x = π

x = π/3

Таким образом, получаем два корня: x = π/3 и x = π/3.

Итак, уравнение имеет три корня: x = 0, x = π/3 и x = π/3.

2. Уравнение: sin(2x) * sin(6x) = cos(x) * cos(3x)

Для решения этого уравнения мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами. Сначала заменим sin(2x) через 2sin(x)cos(x), а sin(6x) через 3sin(2x) - 4sin^3(2x):

2sin(x)cos(x) * (3sin(2x) - 4sin^3(2x)) = cos(x) * cos(3x)

Теперь упростим уравнение:

2sin(x)cos(x) * (3(2sin(x)cos(x)) - 4(2sin(x)cos(x))^3) = cos(x) * cos(3x)

Умножим и сократим:

2sin(x)cos(x) * (6sin(x)cos(x) - 32sin^3(x)cos^3(x)) = cos(x) * cos(3x)

Теперь можно сократить на cos(x), при условии, что cos(x) ≠ 0:

2sin(x)(6sin(x)cos(x) - 32sin^3(x)cos^3(x)) = cos(3x)

Раскроем скобки:

12sin^2(x)cos(x) - 64sin^4(x)cos^3(x) = cos(3x)

Теперь заменим cos(3x) через 4cos^3(x) - 3cos(x):

12sin^2(x)cos(x) - 64sin^4(x)cos^3(x) = 4cos^3(x) - 3cos(x)

Перенесем все члены в одну сторону:

64sin^4(x)cos^3(x) + 4cos^3(x) - 12sin^2(x)cos(x) - 3cos(x) = 0

Теперь преобразуем квадратное уравнение относительно cos(x) и решим его.

Пусть u = cos(x):

64sin^4(x)u^3 + 4u^3 - 12sin^2(x)u - 3u = 0

Теперь факторизуем, выделяя общие множители:

u(64sin^4(x)u^2 + 4u^2 - 12sin^2(x) - 3) = 0

Теперь имеем два случая:

1. u = 0

cos(x) = 0

x = π/2 + πk, где k - целое число.

2. 64sin^4(x)u^2 + 4u^2 - 12sin^2(x) - 3 = 0

Это уравнение квадратное относительно u (cos(x)). Решим его используя дискриминант.

Дискриминант D для уравнения au^2 + bu + c = 0 равен D = b^2 - 4ac.

В нашем случае, a = 64sin^4(x), b = 4, и c = -12sin^2(x) - 3.

D = 4^2 - 4 * 64sin^4(x) * (-12sin^2(x) - 3)

D = 16 - 4 * 64sin^4(x) * (-12sin^2(x) - 3)

D = 16 + 768sin^6(x) + 192sin^4(x)

Теперь найдем значения sin^2(x):

sin^2(x) = 1 - cos^2(x)

sin^2(x) = 1 - u^2

Таким образом, уравнение прин