Question

Решите уравнение a) sin2x*sinx-cos2x*cosx=√2/2

Answer 1

решение задания смотри на фотографии

Answer 2

Для решения уравнения a) sin2xsinx - cos2xcosx = √2/2, мы можем использовать тригонометрические тождества и алгебраические преобразования, чтобы привести уравнение к более простому виду.

Давайте начнем с использования тригонометрических тождеств:

1. sin(2x) = 2 * sin(x) * cos(x)
2. cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)

Подставим эти тождества в уравнение:

2 * sin(x) * cos(x) * sin(x) - (cos^2(x) - sin^2(x)) * cos(x) = √2/2

Упростим выражение:

2 * sin^2(x) * cos(x) - cos^3(x) + sin^2(x) * cos(x) = √2/2

Теперь объединим подобные члены:

3 * sin^2(x) * cos(x) - cos^3(x) = √2/2

Теперь можем использовать замену, чтобы упростить уравнение. Обозначим sin(x) как s и cos(x) как c:

3s^2c - c^3 = √2/2

Теперь обратим внимание, что √2/2 это sin(45°) или sin(π/4). Используем это для дальнейших преобразований:

3s^2c - c^3 = sin(π/4)

Теперь мы можем заметить, что c = cos(π/4) и s = sin(π/4) удовлетворяют уравнению, так как:

3 * (sin(π/4))^2 * cos(π/4) - (cos(π/4))^3 = sin(π/4)

Таким образом, уравнение имеет решение x = π/4 + 2kπ, где k - любое целое число.

Итак, ответ: x = π/4 + 2kπ, где k - целое число.