Question

Решите уравнение (3sinx-2cosx)(1-sinx)=cos^2x

Answer 1

$(3\sin x-2\cos x)(1-\sin x)=\cos^2x\\ \\ (3\sin x-2\cos x)(1-\sin x)-\cos^2x=0\\ \\ (3\sin x-2\cos x)(1-\sin x)-(1-\sin^2x)=0\\ \\ (3\sin x-2\cos x)(1-\sin x)-(1-\sin x)(1+\sin x)=0$

Выносим за скобки общий множитель (1-sin x).

$(1-\sin x)(3\sin x-2\cos x-1-\sin x)=0\\ \\ (1-\sin x)(2\sin x-2\cos x-1)=0$

Произведение равно нулю в том случае, когда хотя бы один из множителей обращается к нулю.

$1-\sin x=0\\ \\ \sin x=1~~~~\Rightarrow~~~ \boxed{x_1=\dfrac{\pi}{2}+2\pi k,k \in \mathbb{Z}}$

$2\sin x-2\cos x-1=0\\ \\ \sin x-\cos x=\dfrac{1}{2}~~~~\bigg|\cdot \dfrac{1}{\sqrt{2}}\\ \\ \dfrac{1}{\sqrt{2}}\sin x-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cos x=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\\ \\ \sin x\cdot \cos \dfrac{\pi}{4}-\cos x\cdot \sin\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\\ \\ \sin \left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\\ \\ \boxed{x_2=(-1)^k\cdot \arcsin\left(\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\right)+\dfrac{\pi}{4}+\pi k, k \in \mathbb{Z}}$

Answer 2

Давайте решим уравнение (3sinx - 2cosx)(1 - sinx) = cos^2x:

1. Раскроем скобки в левой части уравнения: (3sinx - 2cosx)(1 - sinx) = 3sinx - 3sin^2x - 2cosx + 2sinx*cosx

2. Заменим sin^2x на 1 - cos^2x (так как sin^2x + cos^2x = 1): 3sinx - 3(1 - cos^2x) - 2cosx + 2sinxcosx = 3sinx - 3 + 3cos^2x - 2cosx + 2sinxcosx

3. Перепишем уравнение в виде квадратного уравнения: 3sinx - 3 + 3cos^2x - 2cosx + 2sinx*cosx - cos^2x = 0

4. Сгруппируем подобные слагаемые: 3sinx - cos^2x + 3cos^2x + 2sinx*cosx - 2cosx - 3 = 0

5. Перепишем уравнение, используя тригонометрическую тождества: 3sinx + 2sinx*cosx + 2cos^2x - 2cosx - 3 = 0

6. Вынесем общий множитель для первых двух членов и последних двух членов: sinx(3 + 2cosx) + 2(cos^2x - cosx) - 3 = 0

7. Заменим cos^2x на 1 - sin^2x: sinx(3 + 2cosx) + 2(1 - sin^2x - cosx) - 3 = 0

8. Заменим 2cosx на sinx * 2sinx (так как 2sinx * cosx = sinx * 2sinx = sin2x): sinx(3 + 2cosx) + 2(1 - sin^2x - sinx * 2sinx) - 3 = 0

9. Раскроем скобки во втором слагаемом: sinx(3 + 2cosx) + 2 - 2sin^2x - 4sin^2x - 3 = 0

10. Сгруппируем подобные слагаемые: sinx(3 + 2cosx) - 6sin^2x - 1 = 0

11. Теперь перепишем уравнение как квадратное уравнение относительно sinx: 6sin^2x - sinx(3 + 2cosx) + 1 = 0

12. Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: Дискриминант D = (-3 - 2cosx)^2 - 4 * 6 * 1 = 9 + 12cosx + 4cos^2x - 24 = 4cos^2x + 12cosx - 15

13. Найдем значения cosx, при которых D = 0 (корни квадратного уравнения): 4cos^2x + 12cosx - 15 = 0

14. Решим квадратное уравнение 4cos^2x + 12cosx - 15 = 0: D = 12^2 - 4 * 4 * (-15) = 144 + 240 = 384

    cosx = (-12 + √384) / 8 или cosx = (-12 - √384) / 8

15. Вычислим значения cosx: cosx = (-12 + √384) / 8 ≈ 0.913 cosx = (-12 - √384) / 8 ≈ -2.163 (здесь значение за пределами [-1, 1], поэтому это решение отбрасываем)

16. Теперь найдем соответствующие значения sinx, используя тригонометрическое тождество: sin^2x + cos^2x = 1

    sin^2x = 1 - cos^2x

    sinx = ±√(1 - cos^2x)

    При cosx ≈ 0.913: sinx ≈ ±√(1 - (0.913)^2) ≈ ±√(1 - 0.834169) ≈ ±√0.165831 ≈ ±0.407

17. Таким образом, получаем два решения:

    1. sinx ≈ 0.407, cosx ≈ 0.913
    2. sinx ≈ -0.407, cosx ≈ 0.913

Проверим оба решения, подставив их в исходное уравнение:

1. При sinx ≈ 0.407 и cosx ≈ 0.913: (3 * 0.407 - 2 * 0.913)(1 - 0.407) = (0.121 - 1.826)(0.593) ≈ (-1.705)(0.593) ≈ -1.011

   cos^2x = (0.913)^2 ≈ 0.834169

   Похоже, это не решение уравнения, так как левая часть не равна правой.

2. При sinx ≈ -0.407 и cosx ≈ 0.913: (3 * (-0.407) - 2 * 0.913)(1 - (-0.407)) = (-1.221 - 1.826)(1.407) ≈ (-3.047)(1.407) ≈ -4.286

   cos^2x = (0.913)^2 ≈ 0.834169

   И здесь тоже левая часть не равна правой.

Таким образом, у данного уравнения нет решений в действительных числах.