Question

Обчисліть площу фігури, обмеженої лініями y=4-x^2,y=x^2-2x

Answer 1

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Answer 2

Для обчислення площі фігури, обмеженої двома кривими, спочатку необхідно знайти точки їх перетину. Після цього можна буде обчислити площу за допомогою інтегралу.

1. Знайдемо точки перетину двох кривих, прирівнявши їх рівняння:

y = 4 - x^2 y = x^2 - 2x

4 - x^2 = x^2 - 2x

2x^2 - 2x - 4 = 0

x^2 - x - 2 = 0

Тепер розв'яжемо це квадратне рівняння:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

де a = 1, b = -1, c = -2:

x = (1 ± √(1 + 8)) / 2

x = (1 ± √9) / 2

x1 = (1 + 3) / 2 = 2

x2 = (1 - 3) / 2 = -1

2. Знайдемо відповідні значення y:

Для x = 2: y = 4 - 2^2 = 4 - 4 = 0

Для x = -1: y = (-1)^2 - 2(-1) = 1 + 2 = 3

Тепер, коли ми знаємо точки перетину (2, 0) та (-1, 3), можемо обчислити площу фігури за допомогою інтегралу.

Площа фігури обмеженої кривими y=4-x^2 та y=x^2-2x може бути знайдена шляхом обчислення інтегралу від функції y = (4 - x^2) - (x^2 - 2x) (різниці між кривими) з x = -1 до x = 2:

Площа = ∫[from -1 to 2] [(4 - x^2) - (x^2 - 2x)] dx

= ∫[from -1 to 2] (4 - x^2 - x^2 + 2x) dx

= ∫[from -1 to 2] (4 - 2x^2 + 2x) dx

Тепер інтегруємо:

= [4x - (2/3)x^3 + x^2] [from -1 to 2]

= [(4(2) - (2/3)(2)^3 + (2)^2)] - [(4(-1) - (2/3)(-1)^3 + (-1)^2)]

= [8 - (2/3) * 8 + 4] - [-4 + (2/3) + 1]

= [8 - 16/3 + 4] - [-4 + 2/3 + 1]

= [12 - 16/3] - [-13/3]

= 36/3 - 16/3 + 13/3

= 33/3

= 11

Отже, площа фігури обмеженої кривими y = 4 - x^2 та y = x^2 - 2x становить 11 одиниць площі.