Question

Помогите решить срочно нужно Метод замены переменной ∫sin(x/2+2)dx; ∫(1/1+x²+1/√1-x²)dx;

Answer 1

Решение на фотографиях
второй - это табличные интегралы

Answer 2

Конечно, я помогу вам решить эти интегралы. Давайте рассмотрим каждый из них по отдельности:

1. ∫sin(x/2 + 2)dx:

Для решения этого интеграла мы можем воспользоваться методом замены переменной. Пусть t = x/2 + 2. Тогда dx = 2dt, и наш интеграл примет следующий вид:

∫sin(x/2 + 2)dx = ∫sin(t) * 2dt

Теперь мы можем проинтегрировать sin(t):

∫sin(t)dt = -cos(t) + C,

где C - произвольная постоянная интегрирования.

Теперь подставим обратно t = x/2 + 2:

-2*cos(x/2 + 2) + C.

2. ∫(1/(1 + x²) + 1/√(1 - x²))dx:

Для этого интеграла мы также воспользуемся методом замены переменной. Разделим интеграл на два:

∫(1/(1 + x²))dx + ∫(1/√(1 - x²))dx

Первый интеграл ∫(1/(1 + x²))dx может быть решен с помощью арктангенса, а второй интеграл ∫(1/√(1 - x²))dx - это интеграл функции, обратной к функции синуса.

1. ∫(1/(1 + x²))dx: Для этого интеграла сделаем замену переменной t = x:

∫(1/(1 + x²))dx = ∫(1/(1 + t²))dt.

Интеграл ∫(1/(1 + t²))dt может быть вычислен с помощью арктангенса:

∫(1/(1 + t²))dt = arctan(t) + C1.

2. ∫(1/√(1 - x²))dx: Для этого интеграла сделаем замену переменной t = x:

∫(1/√(1 - x²))dx = ∫(1/√(1 - t²))dt.

Интеграл ∫(1/√(1 - t²))dt - это интеграл функции, обратной к функции синуса, и он равен арксинусу:

∫(1/√(1 - t²))dt = arcsin(t) + C2.

Теперь объединим результаты:

∫(1/(1 + x²))dx + ∫(1/√(1 - x²))dx = arctan(x) + arcsin(x) + C,

где C = C1 + C2 - это произвольная постоянная интегрирования.

Надеюсь, это помогло! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задать.