Question

Найдите сумму первых восьми членов арифметической прогрессии если а4=2 а6=10

Answer 1

$\left \{ {{a_4=2} \atop {a_6=10}} \right.$

$\left \{ {{a_1+3d=2} \atop {a_1+5d=10}} \right.$

$\left \{ {{-a_1-3d=-2} \atop {a_1+5d=10}} \right.$

$\left \{ {{2d=8} \atop {a_1+5d=10}} \right.$

$\left \{ {{d=4} \atop {a_1=10-5d}} \right.$

$\left \{ {{d=4} \atop {a_1=10-5*4}} \right.$

$\left \{ {{d=4} \atop {a_1=-10}} \right.$

$S_8=\frac{2a_1+7d}{2}*8=\frac{2*(-10)+7*4}{2}*8=(-20+28)*4=8*4=32$

Ответ: $32$

P.S.

$a_n=a_1+(n-1)*d$

$S_n=\frac{2a_1+(n-1)*d}{2}*n$

Answer 2

Для арифметической прогрессии, общий член можно представить как:

a_n = a_1 + (n - 1) * d,

где a_n - n-ый член прогрессии, a_1 - первый член прогрессии, n - номер члена прогрессии, а d - разность прогрессии (шаг).

Из условия дано, что a_4 = 2 и a_6 = 10.

Используем эти данные, чтобы составить два уравнения:

1. a_4 = a_1 + 3d = 2,
2. a_6 = a_1 + 5d = 10.

Решим эту систему уравнений для a_1 и d:

1. Выразим a_1 из первого уравнения: a_1 = 2 - 3d.

2. Подставим a_1 во второе уравнение: (2 - 3d) + 5d = 10, 2 + 2d = 10, 2d = 10 - 2, 2d = 8, d = 8 / 2, d = 4.

Теперь, найдем a_1, подставив найденное d в первое уравнение: a_1 = 2 - 3 * 4, a_1 = 2 - 12, a_1 = -10.

Теперь мы знаем первый член (a_1 = -10) и разность (d = 4) арифметической прогрессии.

Чтобы найти сумму первых восьми членов прогрессии, воспользуемся формулой для суммы первых n членов арифметической прогрессии:

S_n = (n/2) * (a_1 + a_n),

где S_n - сумма первых n членов прогрессии.

Теперь подставим значения:

n = 8, a_1 = -10, a_n = a_1 + (n - 1) * d = -10 + (8 - 1) * 4 = -10 + 7 * 4 = -10 + 28 = 18.

S_8 = (8/2) * (-10 + 18) = 4 * 8 = 32.

Таким образом, сумма первых восьми членов арифметической прогрессии равна 32.