Question

Доказать, что x в квадрате -4x+9 при любых значениях x принимает положительные значения?

Answer 1

x² - 4x + 9 = 0

D = (-4)² - 4 * 9 = 16 - 36 = - 20 < 0

Дискриминант квадратного трёхчлена меньше нуля, а старший коэффициент, то есть коэффициент при x² равен 1 > 0 , значит

x² - 4x + 9 > 0 при любых значениях x .

Второй вариант :

Графиком функции y = x² - 4x + 9 является парабола, ветви которой направлены вверх, так как старший коэффициент положительный.  Дискриминант отрицательный, значит корней нет, то есть нет точек пересечения с осью абсцисс. Значит парабола расположена выше оси абсцисс, а там все значения функции положительны.

Answer 2

Для доказательства того, что функция $f(x) = x^2 - 4x + 9$ принимает положительные значения при любых значениях $x$, нам нужно показать, что $f(x) > 0$ для любого $x$.

Мы можем решить эту задачу, используя метод завершения квадрата, или анализируя вершину параболы. В данном случае, для краткости, воспользуемся методом анализа вершины.

1. Найдем вершину параболы. Уравнение параболы $f(x) = ax^2 + bx + c$ имеет вершину в точке $(h, k)$, где $h = -\frac{b}{2a}$ и $k = f(h)$.

В нашем случае, $a = 1$, $b = -4$ и $c = 9$:

$h = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$

$k = f(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 9 = 4 - 8 + 9 = 5$

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(2, 5)$.

2. Теперь мы знаем, что парабола смотрит вверх, потому что коэффициент при $x^2$ положительный (1). И так как вершина находится выше оси $x$ ($k = 5 > 0$), это означает, что у параболы нет корней и она принимает положительные значения для всех значений $x$.

Таким образом, мы доказали, что $x^2 - 4x + 9$ принимает положительные значения при любых значениях $x$.