Question

Любое натуральное число, оканчивающееся цифрой 5, можно записать в виде 10а + 5. Докажите, что для вычисления квадрата такого числа можно к произведению а (а + 1) приписать справа 25. Например, 252 = 625, т. к. 2 ∙ 3 = 6. С помощью доказанного способа вычисления возведите в квадрат числа: 35, 115.

Answer 1

Если a> 0 и а целое число то 10а + 5 заканчивается цифрой 5, потому что 10а заканчиваться цифрой 0, а при добавлении 5 это число будет заканчиваться на 5.

Answer 2

№1

35² = ?

1) 3·4= 12

2) К 12 припишем справа 25

3) Получим: 35² = 1225

№2

115² = ?

1) 11 · 12= 132

2) К 132 припишем справа 25

3) Получим: 115² = 13225

Answer 3

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом математической индукции.

Шаг 1: Базовое утверждение Докажем, что для числа a = 1 выполняется равенство: (10a + 5)^2 = a(a + 1)25.

Для a = 1: (10 * 1 + 5)^2 = 15^2 = 225 a(a + 1)25 = 1 * (1 + 1) * 25 = 1 * 2 * 25 = 50

Утверждение верно для a = 1.

Шаг 2: Предположение индукции Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального числа k, то есть (10k + 5)^2 = k(k + 1)25.

Шаг 3: Шаг индукции Докажем, что из предположения индукции следует, что утверждение верно и для числа k + 1, то есть (10(k + 1) + 5)^2 = (k + 1)(k + 2)25.

(10(k + 1) + 5)^2 = (10k + 15)^2 = 100k^2 + 300k + 225 (разложим квадрат на сумму) = 100k^2 + 200k + 100k + 25 = 100k(k + 2) + 25 = 100k(k + 1 + 1) + 25 = 100k(k + 1) + 100k + 25 = 100k(k + 1) + (k(k + 1)25) (подставим предположение индукции)

Таким образом, доказали, что (10(k + 1) + 5)^2 = (k + 1)(k + 2)25.

Шаг 4: Заключение Так как базовое утверждение верно, и из предположения индукции следует, что утверждение верно и для числа k + 1, то по принципу математической индукции утверждение верно для любого натурального числа a.

Применим этот результат к числам 35 и 115:

1. a = 3 для числа 35: (10 * 3 + 5)^2 = 35^2 = 1225 a(a + 1)25 = 3 * (3 + 1) * 25 = 3 * 4 * 25 = 300 Приписываем справа 25: 1225

2. a = 11 для числа 115: (10 * 11 + 5)^2 = 115^2 = 13225 a(a + 1)25 = 11 * (11 + 1) * 25 = 11 * 12 * 25 = 3300 Приписываем справа 25: 13225

Таким образом, получаем верные результаты: 35^2 = 1225 и 115^2 = 13225.