Question

Решите уравнение sin(2x+п/6)=cosx+cos(x+п/6)sinx на отрезке [-5п;-7п/2] с подробным решением

Answer 1

sin2xcosП/6+sinП/6cos2x=cosx+(cosxcosП/6-sinxsinП/6)sinx

√3sinxcosx+cos2x/2=cosx+sinxcosx√3/2-sin^2x/2

(√3/2)sinxcosx+(cos2x+sin^2x)/2=cosx

(√3/2)sinxcosx+cos^2x/2=cosx

cosx=0  x=П/2+Пk   ;x1= -7/2П x2=-9/2П

sin(x+П/6)=1

x+П/6=П/2+2Пk

x=П/3+2Пk

k=-2 x3=П/3-4П=-11П/3

Answer 2

Для решения уравнения sin(2x + π/6) = cos(x) + cos(x + π/6)sin(x) на заданном отрезке [-5π; -7π/2], мы должны следовать нескольким шагам.

Шаг 1: Привести уравнение к более простому виду, используя тригонометрические тождества.

Начнем с правой стороны уравнения. Используя тригонометрические тождества, получим:

cos(x + π/6) = cos(x)cos(π/6) - sin(x)sin(π/6) = cos(x)(√3/2) - sin(x)(1/2) = (√3/2)cos(x) - (1/2)sin(x)

Теперь заменим в исходном уравнении правую сторону этим выражением:

sin(2x + π/6) = (√3/2)cos(x) - (1/2)sin(x) + cos(x)sin(x)

Шаг 2: Привести уравнение к форме с одним типом тригонометрических функций.

Теперь преобразуем уравнение, чтобы у нас были только sin(x) и cos(x):

sin(2x + π/6) = (√3/2)cos(x) - (1/2)sin(x) + cos(x)sin(x)

Распишем sin(2x + π/6) с помощью формулы двойного угла для синуса:

sin(2x + π/6) = sin(2x)cos(π/6) + cos(2x)sin(π/6) = 2sin(x)cos(x)(√3/2) + (1 - 2sin^2(x))(1/2) = √3sin(x)cos(x) + (1 - 2sin^2(x))/2

Теперь подставим полученное выражение для sin(2x + π/6) в исходное уравнение:

√3sin(x)cos(x) + (1 - 2sin^2(x))/2 = (√3/2)cos(x) - (1/2)sin(x) + cos(x)sin(x)

Шаг 3: Решить уравнение относительно sin(x) и cos(x).

Для этого сгруппируем слагаемые, содержащие sin(x) и cos(x):

√3sin(x)cos(x) + cos(x)sin(x) + (1 - 2sin^2(x))/2 - (√3/2)cos(x) + (1/2)sin(x) = 0

Теперь приведем подобные слагаемые:

(√3 + 1/2)sin(x)cos(x) + (1 - 2sin^2(x))/2 - (√3/2)cos(x) = 0

(√3 + 1/2)sin(x)cos(x) - (√3/2)cos(x) + (1 - 2sin^2(x))/2 = 0

Теперь факторизуем:

cos(x)[(√3 + 1/2)sin(x) - (√3/2)] + (1 - 2sin^2(x))/2 = 0

Шаг 4: Решить уравнение для sin(x) и cos(x) отдельно.

1. Уравнение для cos(x):

cos(x)[(√3 + 1/2)sin(x) - (√3/2)] + (1 - 2sin^2(x))/2 = 0

Для нахождения решений, установим, что cos(x) = 0:

cos(x) = 0

На отрезке [-5π; -7π/2], решением этого уравнения являются значения:

x₁ = -5π/2 x₂ = -3π/2

2. Уравнение для sin(x):

Подставим найденные значения cos(x) обратно в исходное уравнение:

1. При x = -5π/2:

sin(2x + π/6) = (√3/2)cos(x) - (1/2)sin(x) + cos(x)sin(x)

sin(2(-5π/2) + π/6) = (√3/2)cos(-5π/2) - (1/2)sin(-5π/2) + cos(-5π/2)sin(-5π/2)

sin(-4π/3) = (√3/2)(0) - (1/2)(-1) + (0)(-1)

sin(-4π/3) = 1/2

2. При x = -3π/2:

sin(2x + π/6) = (√3/2)cos(x) - (1/2)sin(x) + cos(x)sin(x)

sin(2(-3π/2) + π/6) = (√3/2)cos(-3π/2) - (1/2)sin(-3π/2) + cos(-3π/2)sin(-3π/2)

sin(-5π/3) = (√3/2)(0) - (1/2)(1) + (0)(1)

sin(-5π/3) = -1/2

Итак, решение уравнения на заданном отрезке [-5π; -7π/2]:

x₁ = -5π/2, sin(x₁) = 1/2 x₂ = -3π/2, sin(x₂) = -1/2

Окончательный ответ:

x₁ = -5π/2, x₂ = -3π/2.