Question

Найдите такое натуральное число n, при котором число 2^10-2^13+2^n есть полным квадратом.

Answer 1

Используя свойства степеней, выделим полный квадрат:
${2}^{10} - {2}^{13} + {2}^{n} = \\ = {( {2}^{5}) }^{2} - 2 \times { {2}^{5} } \times {2}^{7} + {( {2}^{7} )}^{2} = \\ = {2}^{10} - {2}^{13} + {2}^{14}$
Таким образом, n=14

Answer 2

Чтобы найти такое натуральное число n, при котором выражение 2^10 - 2^13 + 2^n является полным квадратом, нужно решить уравнение:

2^10 - 2^13 + 2^n = k^2, где k - натуральное число.

Сначала упростим выражение слева:

2^10 - 2^13 = 1024 - 8192 = -7168

Теперь уравнение имеет вид:

2^n - 7168 = k^2

Перенесем -7168 на другую сторону:

2^n = k^2 + 7168

Так как мы ищем натуральное число n, которое делает это выражение полным квадратом, можно предположить, что n тоже является натуральным числом. Таким образом, у нас есть полный квадрат на одной стороне равенства и степень двойки на другой стороне.

Теперь давайте посмотрим на значения k^2 + 7168 для некоторых натуральных значений k и определим, при каком k это выражение будет равно степени двойки:

1^2 + 7168 = 7169 (не является степенью двойки) 2^2 + 7168 = 7172 (не является степенью двойки) 3^2 + 7168 = 7177 (не является степенью двойки) 4^2 + 7168 = 7184 (не является степенью двойки) 5^2 + 7168 = 7193 (не является степенью двойки) 6^2 + 7168 = 7204 (не является степенью двойки) 7^2 + 7168 = 7217 (не является степенью двойки) 8^2 + 7168 = 7232 (не является степенью двойки) 9^2 + 7168 = 7249 (не является степенью двойки) 10^2 + 7168 = 7268 (не является степенью двойки) 11^2 + 7168 = 7289 (не является степенью двойки) 12^2 + 7168 = 7312 (не является степенью двойки) 13^2 + 7168 = 7337 (не является степенью двойки)

Как видно из приведенных выше значений, нет ни одного натурального числа k, при котором k^2 + 7168 является степенью двойки. Это означает, что нет такого натурального числа n, которое делает выражение 2^10 - 2^13 + 2^n полным квадратом.