Question

Найти производную f (x) (sin x/4 - cos x/4)^2 (Сокращать не нужно , желательно объяснить по пунктам)

Answer 1

Так как это производная сложной функции то сначала находим производную от степени

ну то есть получим

$2( \sin( \frac{x}{4} ) - \cos( \frac{x }{4} ) )$

далее находим производную от того что в скобках

получается

$( \cos( \frac{x}{4} ) + \sin( \frac{x}{4} ) )$

но синус и косинус нужно ещё умножить на производную аргумента и получим

$\frac{1}{4} \cos( \frac{x}{4} ) + \frac{1}{4} \sin( \frac{x}{4} )$

далее осталось перемножить полученные производные
и получим
$2( \sin( \frac{x}{4} ) - \cos( \frac{x }{4} ) ) (\frac{1}{4} \cos( \frac{x}{4} ) + \frac{1}{4} \sin( \frac{x}{4} ))$

Answer 2

Для нахождения производной функции f(x) = (sin(x)/4 - cos(x)/4)^2 по переменной x, применим правило дифференцирования для композиции функций (chain rule). Пошагово выполним расчёты:

Шаг 1: Воспользуемся правилом для дифференцирования квадрата функции u(x) = (sin(x)/4 - cos(x)/4): (d/dx) u(x)^2 = 2 * u(x) * u'(x),

где u'(x) - производная функции u(x) по переменной x.

Шаг 2: Найдем производную функции u(x) по x: u(x) = (sin(x)/4 - cos(x)/4).

Обозначим первую часть (sin(x)/4) как f(x) и вторую часть (cos(x)/4) как g(x):

f(x) = sin(x)/4, g(x) = cos(x)/4.

Применим правило дифференцирования суммы:

(d/dx) [f(x) - g(x)] = f'(x) - g'(x).

Теперь найдем производные f'(x) и g'(x):

f'(x) = (d/dx) [sin(x)/4] = (1/4) * (d/dx) [sin(x)] = (1/4) * cos(x), g'(x) = (d/dx) [cos(x)/4] = (1/4) * (d/dx) [cos(x)] = -(1/4) * sin(x).

Таким образом: u'(x) = f'(x) - g'(x) = (1/4) * cos(x) - (1/4) * (-sin(x)) = (1/4) * cos(x) + (1/4) * sin(x).

Шаг 3: Теперь подставим значения u(x) и u'(x) в исходное выражение: f(x) = (sin(x)/4 - cos(x)/4), u(x) = f(x)^2 = [(sin(x)/4 - cos(x)/4)]^2, u'(x) = (1/4) * cos(x) + (1/4) * sin(x).

Применяем правило дифференцирования для квадрата функции: (d/dx) u(x) = 2 * u(x) * u'(x),

(d/dx) [(sin(x)/4 - cos(x)/4)^2] = 2 * [(sin(x)/4 - cos(x)/4)] * [(1/4) * cos(x) + (1/4) * sin(x)].

Шаг 4: Упростим выражение: (d/dx) [(sin(x)/4 - cos(x)/4)^2] = 2 * [(sin(x)/4 - cos(x)/4)] * [(1/4) * cos(x) + (1/4) * sin(x)] = (1/2) * [(sin(x)/4 - cos(x)/4)] * (cos(x) + sin(x)).

Это и есть производная функции f(x) = (sin(x)/4 - cos(x)/4)^2 по переменной x.