Question

6 cos^2 5x+5cos5x-1=0 тема : Тригонометрические уравнения сводящиеся к алгобраическим , решите пожалуйста ​

Answer 1

6cos^2(5x)+5cos(5x)-1=0

Замена: cos(5x)=a

6a^2+5a-1=0

D=25+4·6=25+24=49.

a1=(-5-7)/12=-1

a2=(-5+7)/12=1/6

Обратная замена:

cos(5x)=1/6

cos(5x)=-1

5x=±arccos(1/6)+2пn, nєZ.

5x=п+2пn, nєZ.

x=±1/5·arccos(1/6)+2/5пn, nєZ.

x=п/5+2/5пn, nєZ.

Ответ: ±1/5·arccos(1/6)+2/5пn, nєZ или x=п/5+2/5пn, nєZ.

Answer 2

Для решения уравнения 6cos^2(5x) + 5cos(5x) - 1 = 0, давайте введем замену переменной:

Пусть t = cos(5x). Тогда уравнение примет вид:

6t^2 + 5t - 1 = 0.

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно t. Давайте решим его с помощью формулы дискриминанта:

Дискриминант D квадратного уравнения at^2 + bt + c = 0 вычисляется по формуле D = b^2 - 4ac.

В нашем случае a = 6, b = 5 и c = -1.

D = 5^2 - 4 * 6 * (-1) = 25 + 24 = 49.

Так как D > 0, у нас есть два корня t:

t1 = (-b + √D) / 2a = (-5 + √49) / 2 * 6 = (-5 + 7) / 12 = 2 / 12 = 1/6.

t2 = (-b - √D) / 2a = (-5 - √49) / 2 * 6 = (-5 - 7) / 12 = -12 / 12 = -1.

Теперь нам нужно найти значения x, зная t. Мы знаем, что t = cos(5x), поэтому можем найти x с помощью обратной функции косинуса:

1. cos(5x) = 1/6. 5x = arccos(1/6). x = (1/5) * arccos(1/6).

2. cos(5x) = -1. 5x = arccos(-1). x = (1/5) * arccos(-1).

Помните, что arccos имеет множественные значений. Обычно диапазон значений arccos находится в пределах [0, π], но для полного набора решений возможно использование периодичности тригонометрических функций. Вот примеры возможных значений x:

x1 = (1/5) * arccos(1/6) + 2π * k, где k - целое число (включая ноль). x2 = (1/5) * arccos(1/6) + 2π * m, где m - целое число (включая ноль). x3 = (1/5) * arccos(-1) + 2π * n, где n - целое число (включая ноль).

Таким образом, получаем множество значений x, удовлетворяющих уравнению 6cos^2(5x) + 5cos(5x) - 1 = 0.