Question

ДАМ 15 БАЛОВ, ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА при яких значеннях параметра а ріняння x^4-(a+2)x^2+a^2-9=0 має три корені?

Answer 1

x²=y,    y²-(a+2)y+a²-9=0

1)a²-9=0,    y(y-(a+2))=0⇒ y1=0 или y2=a+2

если у1=0 , то х²=0,т.е. х1=0;

если у2=0 , то х²=а+2⇒х=±√а+2,тогда  х2=√а+2 при а> -2

                                                                   х3= -√а+2 при а> -2.

Answer 2

Щоб рівняння мало три корені, дискримінант рівняння повинен бути додатнім значенням. У вашому випадку рівняння має вигляд:

x^4 - (a + 2)x^2 + a^2 - 9 = 0.

Для квадратного рівняння вигляду ax^2 + bx + c = 0, дискримінант обчислюється за формулою D = b^2 - 4ac.

Таким чином, для нашого рівняння, дискримінант буде:

D = (-(a + 2))^2 - 4 * 1 * (a^2 - 9) = (a + 2)^2 - 4(a^2 - 9).

Для того щоб рівняння мало три корені, дискримінант має бути додатнім:

D > 0.

(a + 2)^2 - 4(a^2 - 9) > 0.

Розкривши дужки та спростивши, отримаємо:

a^2 + 4a + 4 - 4a^2 + 36 > 0.

36 - 3a^2 + 4a + 4 > 0.

3a^2 - 4a - 40 < 0.

Тепер знайдемо значення a, для яких нерівність виконується:

3a^2 - 4a - 40 < 0.

Для спрощення можна розділити нерівність на 3:

a^2 - (4/3)a - (40/3) < 0.

Тепер спробуємо розв'язати нерівність. Її графік буде параболою, і ми шукаємо ті значення a, для яких графік знаходиться під осі Ox (тобто має додатні значення).

Нерівність має розв'язки:

(-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a.

a = 1, b = -(4/3), c = -(40/3).

a = (4/3) ± √((4/3)^2 - 4 * 1 * (-(40/3))) / 2 * 1.

a = (4/3) ± √((16/9) + 160/3) / 2.

a = (4/3) ± √((16/9) + (480/9)) / 2.

a = (4/3) ± √(496/9) / 2.

a = (4/3) ± (√496) / 6.

Таким чином, ми отримали два значення для a:

a₁ = (4/3) + (√496) / 6 ≈ 3.55.

a₂ = (4/3) - (√496) / 6 ≈ -2.22.

Коли a буде більше приблизно 3.55 або менше приблизно -2.22, рівняння x^4 - (a + 2)x^2 + a^2 - 9 = 0 матиме три корені.